Mathe GK - Funktionen- Klasse 11?

Hey, kann mir jemand Aufgabe 17 erklären? Zur Zeit checke ich gar nichts in Mathe

Answer 1

[evtldocha]

17.a) Kurvendiskussion

Achsenschnittpunkt y-Achse (immer x = 0 setzen): $f\left(0\right)=e^{-0,5\cdot0}=e^0=1\$ Der Schnittpunkt mit der y-Achse liegt bei S_y(0 | 1).

Achsenschnittpunkt x-Achse (auch als Nullstellen bekannt, f(x) = 0 lösen):
Die Exponentialfunktion hat keine Nullstellen.

Extremwerte (immer f'(x) = 0 und f''(x) untersuchen)

$f'\left(x\right)\ =\ -0,5\cdot2x\cdot e^{-0,5x^2}\ =\ -x\cdot e^{-0,5x^2}$ $f''\left(x\right)=-e^{-0,5x^2}+x^2\cdot e^{-0,5x^2}=\left(x^2-1\right)\cdot\cdot e^{-0,5x^2}$

$f'\left(x\right)=0\ \Leftrightarrow x=0$ $f''\left(0\right)=-1$

Daraus folgt: Die Funktion hat ein Maximum bei x=0 und dort den Funktionswert 1. Weitere Extremwerte existieren nicht.

Wendepunkt(e) (immer f''(x) = 0 und f'''(x) ≠ 0 oder Vorzeichenwechsel von f''(x) prüfen)

$f''\left(x\right)=0\ \Leftrightarrow\ \left(x^2-1\right)=0\ \Leftrightarrow\ x_{1/2}=\pm\sqrt{1}=\pm1$ $f'''\left(x\right)=-x\cdot\left(x^2-3\right)\cdot e^{-0,5x^2}\ \rightarrow\ f\left(\pm1\right)\ \ne0$

Die Funktion hat also zwei Wendepunkte bei: $W_1​\left(−1\ ∣\ \frac{1}{\sqrt{e}}​\right);\ W_2​\left(+1\ ∣\ \frac{1}{\sqrt{e}}​\right)$

Symmetrie (Prüfe f(-x) = f(x) = Symmetrie zur y-Achse oder f(-x) = -f(x) = Punktsymmetrie z. Ursprung) $f\left(-x\right)=e^{-0,5\left(-x\right)^2}=e^{-0,5\left(x\right)^2}=e^{-0,5x^2}=f\left(x\right)$

Die Funktion ist also achsensymmetrisch (zur y-Achse).

17.b) Skizze:

17.c) Dreiecksfläche

Tangente:

$t\left(1\right)=f'\left(1\right)\cdot1+b\ =\ f\left(1\right)\rightarrow\ b=\ f\left(1\right)\ -f'\left(1\right)=\frac{2}{\sqrt{e}}$ $t\left(x\right)=-\frac{1}{\sqrt{e}}x+\frac{2}{\sqrt{e}}$

Normale:

$n\left(1\right)=-\frac{1}{f'\left(1\right)}\cdot1+b\ =f\left(1\right)\ \rightarrow\ b=f\left(1\right)+\frac{1}{f'\left(1\right)}=\frac{1}{\sqrt{e}}-\sqrt{e}$ $n\left(x\right)=\sqrt{e}\cdot x+\frac{1}{\sqrt{e}}-\sqrt{e}$

Skizze:

Denn Satz des Pythagoras und die Berechnung der Seitenlängen des Dreiecks überlasse ich nun Dir, da alle Koordinaten der relevanten Punkte in der Rechnung oben schon auftauchen.

Answer 2

[ProfFrink]

Dann fang doch einfach mit dem an, was Du schon kannst. Mach' eine Wertetabelle mit den Werten {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} und den zugehörigen y-Werten und zeichne den Funktionsverlauf. Alle übrigen Fragen beantworten sich dann fast von selbst.

Du siehst dann einen wunderschönen Achsschnittpunkt, auch das Maximum tut sich vor Deinem geistigen Auge auf. Das allein schon ist ein Genuß. Und sogar gleich zwei Wendestellen tun sich in der faszinierenden Kurvenlandschaft auf. Die rechte Wendestelle dann zu lokalisieren und mit einer Tangente lustvoll zu verzieren verschafft sogar echte Glücksgefühle.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung