Teich leeren mit 2 Schleusen?

Schleuse 1 leert Teich in 8.5 Stunden

Schleuse 2 leert Teich in 6 Stunden, aber diese Schleuse wird erst 1 Stunde nach Schleuse 1 geöffnet.

Wie lange brauchen beide Schleusen nun, bis der Teich leer ist?

Die Gleichung für das Leeren mit 2 Schleusen mit Start zur gleichen Zeit ist mir bekannt, aber die Verzögerung von Schleuse 2 um 1 Stunde bringe ich nicht erfolgreich in die Gleichung

Answer 1

[mihisu]

Hinweis: Teile das ganze in zwei Phasen auf.

• Berechne für die erste Phase (nur Schleuse 1 offen), wie viel Wasservolumen nach dieser einen Stunde noch im Teich verbleibt.
• Berechne für die zweite Phase (beide Schleusen offen), wie lange es dauert, bis dieses verbleibende Volumen abgeflossen ist.
• Addiere die Zeiten der beiden Phasen, um die gesuchte Gesamtzeit zu erhalten.

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Sei V das gesamte Volumen des Wassers im Teich (zu Beginn).

Die Durchflussraten der Schleusen betragen dann...

$Q_1=\frac{V}{8\text{,}5\,\text{h}}$

$Q_2=\frac{V}{6\,\text{h}}$

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Nun wird zunächst nur Schleuse 1 für eine Stunde geöffnet. Welches Wasservolumen ist in dieser Zeit bereits abgeflossen?

$Q_1\cdot 1\,\text{h}=\frac{V}{8\text{,}5\,\text{h}}\cdot 1\,\text{h}=\frac{1}{8\text{,}5}\cdot V\approx 0\text{,}1176\cdot V$

Es sind also etwa 11,76 % des Wassers abgeflossen, sodass noch etwa 88,24 % des Wassers im Teich verbleiben.

$V-Q_1\cdot 1\,\text{h}\approx 1\cdot V-0\text{,}1176\cdot \text{V}=0\text{,}8824\cdot V$

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Nun werden beide Schleusen geöffnet. Die gesamte Durchflussrate beträgt dann...

$Q=Q_1+Q_2=\frac{V}{8\text{,}5\,\text{h}}+\frac{V}{6\,\text{h}}=\left(\frac{1}{8\text{,}5\,\text{h}}+\frac{1}{6\,\text{h}}\right)\cdot V$

Welche Zeit t₂ wird nun in dieser zweiten Phase benötigt, in der das restliche Wasservolumen 0,8824 ⋅ V abfließt?

$Q\cdot t_2=0\text{,}8824\cdot V$

$\rightarrow\quad \left(\frac{1}{8\text{,}5\,\text{h}}+\frac{1}{6\,\text{h}}\right)\cdot V\cdot t_2=0\text{,}8824\cdot V$

$\rightarrow\quad t_2=\frac{0\text{,}8824}{\frac{1}{8\text{,}5\,\text{h}}+\frac{1}{6\,\text{h}}}$

$\rightarrow\quad t_2\approx 3\text{,}103\,\text{h}$

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Addiert man diese Zeit der zweiten Phase zur Zeit t₁ für die erste Phase erhält man für die benötigte Gesamtzeit...

$t=t_1+t_2\approx 1\,\text{h}+3\text{,}103\,\text{h}=4\text{,}103\,\text{h}$

Ergebnis: Der Teich ist nach etwa 4,1 h leer.

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Wenn man die Zwischenschritte zu einer Rechnung zusammenfasst, kann man feststellen, das man insgesamt das Folgende gerechnet hat...

$t=1\,\text{h}+\frac{1-\frac{1\,\text{h}}{8\text{,}5\,\text{h}}}{\frac{1}{8\text{,}5\,\text{h}}+\frac{1}{6\,\text{h}}}\approx 4\text{,}1\,\text{h}$

Comments

[Hucky823]

Sehr guter Lösungsgang - auch wenn die zusammenfassende Gleichung ohne die vorhergehenden "Schachzüge" mir nicht auf Anhieb in den Sinn gekommen wäre.

Answer 2

[RobertLiebling]

Nach 1 Stunde ist der Teich schon um 1/8,5 geleert, sodass nur noch 7,5/8,5 durch beide Schleusen entleert werden müssen.

Das sollte weitere ca. 3,1 Stunden dauern.

Answer 3

[Wechselfreund]

Mein Ansatz:

(7,5/8,5) V = (V/8,5)*t + (V/6) *t | : V

Answer 4

[Willy1729]

Hallo,

Schleuse 1 schafft pro Stunden 1/8,5, also 2/17 des Teichs zu leeren.

Nach einer Stunden ist der Teich also nur noch zu 15/17 voll.

Dieser Rest ist mit zwei Punpen dann nach (15/17)/(2/17+1/6)=3,1 Stunden (gerundet) leer. Die erste Stunde dazugerechnet ergibt etwa 4,1 Stunden oder 4 Stunden und 6 Minuten.

Die 3,1 Stunden habe ich nach der Methode des harmonischen Mittels berechnet.

Herzliche Grüße,

Willy

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[Hucky823]

Jetzt begriffen - Danke

Answer 5

[ultrarunner]

Ich würde es so versuchen:

x/8,5 + (x–1)/6 = 1

x ≈ 4,10 h

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[Hucky823]

Habe jetzt den "Trick" begriffen

[Willy1729]

Oder so...Geht auch, ja.