Summenzeichen ausrechnen?

Gibt es eine Möglichkeit \sum\limits_{x} ^{n} direkt zu berechnen ohne es vollständig aufzuschreiben. Also bei x=1 und n=100 dauert es ja ewig. 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11...=5050.

Wenn n=1, kann man ja schreiben \frac{x} {2}\cdot x +\frac{x}{2}?

Answer 1

[mihisu]

„\sum\limits_{x} ^{n}“ ergibt keinen Sinn.
Vermutlich meinst du „\sum\limits_{k = x}^{n} k“, also...

$\sum\limits_{k = x}^{n} k$

============

Bedenke die Gauß-Summenformel:

$\sum\limits_{k=1}^{n}k=\frac{n\cdot \left(n+1\right)}{2}$

https://de.wikipedia.org/wiki/Gaußsche_Summenformel

Bzw. gilt das offensichtlich auch mit 0 statt 1 als Untergrenze. Also auch:

$\sum\limits_{k=0}^{n}k=\frac{n\cdot \left(n+1\right)}{2}$

Bedenke außerdem, dass für alle ganze Zahlen r, s, t mit r ≤ s ≤ t gilt:

$\sum\limits_{k=r}^{t}a_{k}=\sum\limits_{k=r}^{s-1}a_{k}+\sum\limits_{k=s}^{t}a_{k}$

[D.h. man kann eine Summe in zwei Teilsummen unterteilen.]

Bzw. auch umgekehrt dann...

$\sum\limits_{k=s}^{t}a_{k}=\sum\limits_{k=r}^{t}a_{k}-\sum\limits_{k=r}^{s-1}a_{k}$

Im konkreten Fall erhält man damit, dass für alle positiven ganzen Zahlen x und n mit x ≤ n gilt:

$\sum\limits_{k=x}^{n}k=\sum\limits_{k=0}^{n}k-\sum\limits_{k=0}^{x-1}k=\frac{n\cdot \left(n+1\right)}{2}-\frac{\left(x-1\right)\cdot \left(x-1+1\right)}{2}=\frac{n\cdot \left(n+1\right)-\left(x-1\right)\cdot x}{2}$

Also:

$\boxed{\sum\limits_{k=x}^{n}k=\frac{n\cdot \left(n+1\right)-\left(x-1\right)\cdot x}{2}\text{ für alle }x, n\in\mathbb{N}\text{ mit }1\leq x\leq n}$

============

Wenn du dann beispielsweise für x = 100 und n = 100000 die Summe...

$\sum\limits_{k=100}^{100000} k=100+101+102+103+\ldots+99999+100000$

... berechnen möchtest, kannst du einfach...

$\sum\limits_{k=100}^{100000} k=\frac{100000\cdot \left(100000+1\right)-\left(100-1\right)\cdot 100}{2}=\frac{100000\cdot 100001-99\cdot 100}{2}$

$\quad =\frac{10000100000-9900}{2}=\frac{10000090100}{2}=5000045050$

... rechnen.

Comments

[Tvhee]

Haha das hatte ich heute im Kolleg xD

[Jesko224]

Da hast du dir echt Mühe gegeben, danke.

Answer 2

[verreisterNutzer]

Vorab: An Deinem Aufschrieb ist nicht zu erkennen, was Du wirklich meinst (ein x als Laufindex ist schon schwer ab jeder mathematischen Konvention).

Falls Du wissen wolltest was,

$\sum_{k=m}^nk;\ \ m\ \le\ n$

ist, dann

$\sum_{k=m}^nk=\sum_{k=1}^nk\ -\sum_{k=1}^{m-1}k\ =\frac{n\cdot\left(n+1\right)}{2}-\frac{\left(m-1\right)\cdot m}{2}$

Answer 3

[TUrabbIT]

Wenn du meinst:

$\sum_x^nx\ \text{für x>0}$ Dann ist nach Gauß die Formel für die Summe von 1 bis n:

$\frac{n^2+n}{2}$ Und daraus folgt:

$\text{für m=x-1 und }x\ge\text{1: }\frac{n^2+n}{2}-\frac{m^2+m}{2}$

Die Summe von x bis n ist das gleiche wie Summe 1 bis n Minus Summe 1 bis zum unteren Limit x-1

Comments

[verreisterNutzer]

Die Summe von x bis n ist das gleiche wie Summe 1 bis n Minus Summe 1 bis zum unteren Limit x.

... damit ziehst Du einen Term zu viel wieder ab (unteres Limit x ist auch der erste Term der gesuchten Summe)

[TUrabbIT]

@verreisterNutzer

Tatsache, nicht aufgepasst. Du hast recht.

Answer 4

[Iwengo]

Summe für 1 bis n = (n+1)n/2

Comments

[Jesko224]

Ok, aber für 2 oder mehr bis n?

[Iwengo]

@Jesko224

dann musst du von Summe 1-n die Summe 1 bis 1 abziehen

[TUrabbIT]

@Jesko224

Die Summe von x bis n ist das gleiche wie Summe 1 bis n Minus Summe 1 bis x:
(n+1)n/2 - (x+1)x/2

[AusMeinemAlltag]

@Jesko224

Ich bin mir nicht sicher, was genau du mit deiner Frage meinst, aber wäre das nicht einfach:

(n + 1) * n / 2 - m * (m - 1)/ 2, wobei m dann einfach die untere Grenze ist ab der es anfängt.

Also für m = 2 -->

(100 + 1) + 100 / 2 - 2 * 1 / 2 = 5049

Für m = 90 dann zum Beispiel:

(100 + 1) * 100 / 2 - 90 * 89 / 2 = 1045

Oder meinst du was anderes?

Oder bei dir halt x statt m, wenn ich das richtig verstanden habe.