Summe einer Zahlenreihe berechnen?
Hallo Zusammen, kann mir bitte jemand kurz erläutern, wie solch eine Aufgabe zu lösen ist?
Ich weiss, dass eine solche Reihe mit rein positiven Vorzeichen wie folgt berechnet werden kann:
Aber wie gehe ich mit Reihen vor die + und - Zeichen enthalten?
Ich danke euch für eine Rückmeldung
3 Antworten
Hallo,
bei alternierenden Summen nimmst Du (-1)^k bzw. (-1)^(k+1) als Faktor, je nachdem, ob die Reihenglieder mit einem Minus oder einem Plus anfangen.
Hier ist es die Summe von k=1 bis n über (-1)^k*1/(2^(k+1)).
Die ersten Summanden lauten dann -1/4+1/8-1/16+1/32 usw.
Das (-1)^k bewirkt, daß sich die Vorzeichen immer abwechseln, denn für ungerade k (1;3;5 usw.) ergibt das (-1), für gerade k (2;4;6 usw.) ergibt es 1. So werden die einzelnen Summanden abwechselnd mit (-1) und 1 multipliziert, was einen Wechsel der Vorzeichen ergibt.
Wenn Du die Reihe so berechnest, daß am Ende ein positiver Summand steht, kannst Du die Summenformel (-1/6)*(1-1/2^n) benutzen. Dann wird auch klar, daß die Reihe für n gegen unendlich gegen -1/6 geht.
Herzliche Grüße,
Willy
Wenn n gegen unendlich geht, geht 1/2^n gegen Null. Was bleibt?
Es die Summe von k=1 bis n über (-1)^k*1/(2^(k+1)), wie Willy1729 schon geschrieben hat.
Man kann das auch noch so schreiben,
1/2 Summe von k=1 bis n über (-1/2)^k
Die geometrische Summe (ab k=0) hat die Formel
( 1 - (-1/2)^(n+1)) / ( 1- (-1/2) ), ab k=1 hat man also insgesamt
(1/2) [ ( 1 - (-1/2)^(n+1)) / ( 1- (-1/2) ) - 1 ]
In der Aufgabe geht die Summe bis n=10, macht also -0.166....
Das ist fast schon der Limes für n gegen unendlich, der ist
(1/2) [ ( 1 /( 1 - (-1/2) ) - 1 ] = -1/6
Editiert.
Nee, doch nicht.
Danke Dir, und wie kommst du den auf -1/6?