Stochastik: Wahrscheinlichkeit, dass bei 6 Punkten in einem 15 x 15 Feld mindestes EINER am Rand liegt?

Was ich schon lange mal fragen wollte:
Ich habe mir in Java ein kleines "Brettspiel" erstellt, in dem ich in einem 15 x 15 Punkte großen Feld, 6 Punkte finden muss, die per Zufallsgenerator erstellt wurden.
(Ist ähnlich wie Schiffeversenken, oder, falls das jemand kennt, "Galaxi". Es werden nur EINZELNE Punkte gesucht, keine "Schiffe" aus mehreren Punkten).
Nun habe ich in wirklich tausenden von Spielen (spiele das schon jahrelang) festgestellt,
dass fast immer einer der 6 Punkt am Rand des Spielfeldes liegt.
Oft sogar mehrere.
Da ich in der Schule nie Stochastik hatte (ehrlich!), bitte ich nun die Mathematiker unter Euch:

Kann jemand berechnen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass bei 6 Punkten aus 15 x 15 Punkten mindestens EINER am Rand liegt?

Falls ihr Lust habt, zusätzlich auch zwei oder drei.
Hier seht ihr ein Beispiel:

Comments

[Mathmaninoff, UserMod Light]

Können auch mehrere Punkte an derselben Stelle sein? Wenn in dem Fall wiederholt wird, damit alle Punkte an einer anderen Stelle sind, wäre die Frage etwas schwieriger.

[Oubyi, UserMod Light]

Nein, es sind IMMER 6 verschiedene Punkte. Zweimal dieselbe Koordinate habe ich ausgeschlossen.
Dürfte aber bei 6 aus 225 eh kaum ins Gewicht fallen, denke ich.

Answer 1

[Mathmaninoff, UserMod Light]

Das Feld hat 15x15 Felder, also sind in der Mitte 13x13 Felder.

Wahrscheinlichkeit für ein Punkt in der Mitte: $\frac{13\cdot13}{15\cdot15}=0,751111$ $\left(\frac{13\cdot13}{15\cdot15}\right)^6=0,1795664178$ Wahrscheinlichkeit für 6 Punkte in der Mitte: $\frac{13\cdot13}{15\cdot15}=0,751111$ $\left(\frac{13\cdot13}{15\cdot15}\right)^6=0,1795664178$

Wahrscheinlichkeit mindestens einer nicht in der Mitte: $1-0,1795664178\ =\ 0,8204335822$

Comments

[Mathmaninoff, UserMod Light]

Allgemein kann man das mit der Bionomialverteilung für p=0,2488889 und n=6 berechnen.

[Mathmaninoff, UserMod Light]

@Mathmaninoff, UserMod Light

Und bei ohne Zurücklegen, also dass kein Punkt mehrmals vorkommt, verwendet man die Hypergeometrische Verteilung stattdessen.

[Oubyi, UserMod Light]

DANKE für diese ausführliche Analyse. SUPER.

Damit ich das recht verstehe:
In 82% der Fälle, liegt also mindestens EIN Punkt am Rand.
Das heißt mein Gefühl/ meine Erfahrung hat mich also nicht getäuscht.
(Ich habe nämlich eine persönliche Regel, dass ich, falls nur noch zwei Punkte zur Auswahl stehen, immer den am Rand nehme (falls vorhanden))