Stetigkeit zeigen aus einem Normierten Vektorraum?
Hi, ich soll zeigen das diese Abbildung stetig ist und meine Lösung wirkt auf mich so trivial. Kann mir bitte Jemand helfen ?
Meine Lösung:
2 Antworten
If T is continuous, then ....
Du sollst Stetigkeit folgern, und nicht aus der Stetigkeit etwas folgern ...
Berechne dazu erst mal
| T(f) - T(g) | <= || f - g ||,
das ist nicht zu schwer.
Die Stetigkeit kann nun mit dem Epsilon-Delta-Kritierium nachgewiesen werden, wobei zu gegebenem epsilon > 0 das delta = epsilon gewählt werden kann.
Du musst noch zeigen, dass du den Limes in das Integral ziehen darfst.
Siehe hierfür den Lebesgue'scher Konvergenzsatz.
Du brauchst eine Majorante g, für die
|f_n| ≤ g
und für die T(g) existiert. Da die f_n alle stetig sind, sind auch die |f_n| stetig. Auf dem Intervall [0, 1] nehmen sie also ein globales Maximum M_n an. Da außerdem die Folge (f_n) konvergiert, ist sie beschränkt durch ein spizielles M_n, was wir M nennen wollen, also ||f_n|| ≤ M. Setzt man nun g ≡ M ist ein Majorante gefunden und da g dann konstant ist existiert auch T(g).
Den Rest des Beweises hast du schon aufgeschrieben.
Wieso?
Wenn es darum geht Stetigkeit nachzuweisen ist das doch eines der entscheidenen Aspekte, also dass man den Limes in das Argument der Funktion ziehen darf.
Wie du kann man es natürlich auch machen, ist aber auch eine andere Vorgehensweise als im Beweis vom Fragesteller.
Viele Wege führen nach Rom. Ich wollte nur zu bedenken geben, dass man für so eine einfache Übung nicht solche Sätze auffahren muss, das war bestimmt nicht der Sinn der Sache.
Der Fragesteller hat gefragt ob es nicht zu einfach wäre wie er es gemacht hat. Daher habe ich für >seinen Rechenweg< die Ergänzung gegeben. Bei dir handelt es sich ja um einen anderen Ansatz
Das ist nun allerdings mit Kanonen auf Spatzen geschossen ...