Steckbriefaufgabe - Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades ist PUNKTsymmetrisch zum Ursprung, wie schreibt man sowas als Bedienung auf?

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4 Antworten

Stimmt alles, was du sagst. Du kommst auf die Bedingungen

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und kannst dir aus der Punktsymmetrie zum Beispiel noch die Bedingung f'(-1) = 0 oder f(-2) = -2 herleiten (eine von beiden reicht, funktionieren aber beide). Damit hast du vier Bedingungen und kannst das Gleichungssystem lösen. Klappt also wunderbar.

Alternativ können wir Punktsymmetrie von Anfang an allgemeiner als



auffassen (das hilft, wenn es irgendwann um andere als einfache ganzrationale Funktionen geht). Warum ergibt das Sinn? Du hast dir oben ja schon zwei punktsymmetrische Funktionen aufgezeichnet und wenn du dir überlegst, was Punktsymmetrie aussagt, ist die Gleichung schnell klar: Haben wir an der Stelle 2 zum Beispiel den Funktionswert 5 ("rechts oben"), haben wir an der Stelle -2 den Funktionswert -5 ("links unten"):



Jetzt müssen wir uns noch überlegen, was das für eine ganzrationale Funktion dritten Grades aussagt:



Wir haben vorher gesehen, dass bei einer punktsymmetrischen Funktion f(0) = 0 gelten muss, d.h. es ist d = 0 (keine Verschiebung nach oben oder unten). Bleibt



übrig und wenn wir einfach mal die Bedingung für Punktsymmetrie einsetzen, erhalten wir allgemein



und damit



und weiter



was uns zu b = 0 führt. Punktsymmetrische kubische Funktionen haben also b = 0 und d = 0 und damit die Form



Prüfen wir die Punktsymmetrie nochmal nach:



Check! Wir können festhalten: Punktsymmetrische kubische Funktionen sind bereits durch zwei Parameter eindeutig bestimmt, nämlich a und c - die Parameter b und d gehen nämlich aus der Punktsymmetrie schon hervor (wäre einer dieser beiden Parameter b und d ungleich 0, kann die Funktion nicht mehr punktsymmetrisch sein).

Du brauchst also eigentlich nur zwei Bedingungen, wenn du Punktsymmetrie gegeben hast, denn du musst ja effektiv nur zwei Parameter der Form



bestimmen. Und diese zwei Bedingungen hast du ja direkt gegeben: Tiefpunkt bei 1 und A(2 / 2) aufliegend.

Summa summarum: Punktsymmetrie ist eine super Eigenschaft bei ganzrationalen Funktionen, weil sie sofort vieles vereinfacht. Hier musst du zum Beispiel nur noch zwei Parameter bestimmen. Wir können obige Überlegungen sogar auf allgemeine ganzrationale Funktionen verallgemeinern - eine Funktion ist punktsymmetrisch, wenn die x'se in ihrer Funktionsgleichung nur ungerade Exponenten (hier 3 und 1) enthalten. Analog kann man Achsensymmetrie an nur geraden Exponenten ablesen (überlege dir ruhig mal warum).

LG

Eine ganzrationale Funktion 3. Grades sieht allgeimein so aus:
f(x)=ax³+bx²+cx+d
Jetzt heißt "punktsymmetrisch zum Ursprung" nicht nur N(0I0), sondern auch, dass x² nicht vorkommen kann, d. h. b=0 sein muss, ebenso wie d. Punktsymmetrisch heißt nämlich, dass die Funktion ungerade ist, d. h. es dürfen auch nur ungerade Exponenten vorkommen.

Somit hast Du mit den Vorgaben bzw. Deinen Folgerungen daraus genug Bedingungen die fehlenden Unbekannten zu ermitteln.

Oh Mist 💩 danke 😅

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Ja, sieht gut aus. 👍

Eine Funktion dritten Graden lässt sich mit Binomen darstellen (Nullstellenform):

f(x)= (x+a)(x+b)(x+c) und x Element der komplexen Zahlen

Punktsymetrisch zum Punkt (0,0) bedeutet f(-x)=-f(x)

f(-x) = -a*-b*-c = -(a*b*c) = -f(x) was wahr ist, somit geht f(x) durch den Ursprung

Allgemeine Darstellung:

f(x) = ax³+bx²+cx+d

f'(x) = 3ax²+2bx+c

f'(1) = 3a+2b+c = 0

Wegen Tiefpunkt:

f''(x) = 6ax+2b>0 (linkskrümmung)

Dann noch

f(2) = 8a+4b+2c+d = 2

Woher ich das weiß:Beruf – Studium der Informatik + Softwareentwickler seit 25 Jahren.

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