Stammfunktion?
Kann mir jemand bei dem ersten Teil der Aufgabe helfen, verstehe es nicht wirklich?
2 Antworten
Die punktweise Grenzfunktion ist konstant 0.
Für jedes n ist Phi-n(1)=0.
Für jedes x<1gilt: für alle n > 1/(1-x) ist Phi-n(x)=0.
Das Integral der Phi-n ist immer 1, ein Rechteck mit der Grundseite (x-Richtung) 1/n und der Höhe (y-Richtung) n. Damit ist der Limes für n->unendlich auch 1. (Das Integral der punktweisen Grenzfunktion ist hingegen 0. Das war zwar nicht gefragt, aber das soll der Lerneffekt sein)
Die Phi-n hanen nur zwei Funktionswerte 0 und n. Zwischen 0 und 1-1/n ist der Funktionswert 0. Dieser Teil liefert keinen Beitrag zum Intrgral. Das letzte Sück vor der 1 hat den Funktionswert 1. Die Fläche unter der Kurve ist ein Rechteck, mit wachsendem n immer schmaler, immer höher.
Nimm mal an, n wäre 3. Dann ist Phi-3(x) = 0, solange x<2/3 und Phi-3(x)=3 für 2/3<=x<1. Bei n=4 wäre Phi-4(x) = 0, solange x<3/4 und Phi-4(x)=4 für 3/4<=x<1. Bei n=100 wäre Phi-100(x) = 0, solange x<99/100 und Phi-100(x)=100 für 99/100<=x<1. Wirdes so anschaulicher?
(a) Die Funktionenschar phi_n konvergiert punktweise gegen 0, da für jedes x aus dem Intervall [0, 1[ mit x < 1 - 1/n nach Definition gilt: phi_n(x) = 0. Dies ist für beliebiges x der Fall, sobald für die natürliche Zahl n in der Folge phi_n gilt: n > 1/(1-x). Also ist die Grenzfunktion phi für alle x aus [0, 1[ punktweise gleich 0, bei x = 1 gilt dies nach Definition ohnehin für jedes phi_n und damit auch für Grenzfunktion phi. Wenn aber phi(x) = 0 für alle x aus [0, 1] ist, dann auch das Integral von phi über dem Intervall [0, 1].
(b) Zur Berechnung des Integrals von phi_n über dem Intervall [0, 1] musst Du lediglich den Flächeninhalt unter der Treppe bestimmen: im Intervall [1 - 1/n, 1[ mit der Länge 1 - (1 - 1/n) = 1 - 1 + 1/n = 1/n nimmt phi_n den Funktionswert n an, sonst 0; somit ist
Also konvergiert die Folge der Integrale gegen 1.
Du hast hier ein Beispiel für eine Funktionenschar, die punktweise gegen 0 konvergiert, der Limes der Integral-Folge ist jedoch nicht 0, sondern 1. Dieses Beispiel zeigt, dass man nicht immer Limes-Bildung und Integration vertauschen darf, sondern nur unter gewissen Bedingungen - welche das sind, solltet Ihr in der Vorlesung behandelt haben… :-)
Hast du auch ein tipp zur b, a hab ich soweit verstanden