Skalarprodukt vom Viererimpuls?
Ich sitze an einer Aufgabe zu einem relativistischen Teilchenstoß und muss nun den Viererimpuls eines Positrons (Masse m, Geschwindigkeit v) mit dem eines Photons multiplizieren, also
(ymc, ymv) * (hf/c, 0)y ist der Gamma-Faktor. Funktioniert das analog zum normalen Quadrat vom Viererimpuls?
3 Antworten
Der Viererimpuls eines Photons ist aber
mit
Bei dir ist die räumliche Komponente Null. Da stimmt was nicht.
In welchem Kontext steht das ganze?
Hier bleiben die Komponenten des Viererimpulses erhalten.
Das liefert 3 Gleichungen für f1, f2 und den Winkel
Hm. Ich glaube ich bin ganz auf dem Holzweg. Wie kann dein ein Ansatz aussehen?
Du könntest z.B. ins Schwerpunktssystem LORENTZ-transformieren, wo Positron und Elektron entgegengesetzte räumliche Impulse haben. Dort müsen sich die entstandenen Photonen genau gleich verhalten, d.h. mit gleicher Wellenlänge in entgegengesetzte Richtungen fliegen. Dann müsstest Du zurück ins Laborsystem LORENTZ-transformieren.
Der Viererimpuls ist eine Erhaltungsgröße, und somit auch seine Komponenten
- Gesamtenergie
- Gesamtimpuls
Du bestimmst diese vorher und nachher aus und setzt das gleich:
z.B. Energie:
vorher: W(vorher)=γ mc²+mc² (Positron, Elektron)
nachher: W(nachher) = h f1 + h f2
Für den Impuls geht es ganz ähnlich, hier haben wir aber x und y-Komponenten.
Das ergibt 3 Gleichungen für die drei Unbekannten, die man sehr einfach auflösen kann.
Tipp: Zeichnung zuerst, dann rechnen.
Natürlich ist die Hin- und Hertransformiererei umständlich, wahrscheinlich auch unnötig. Ein anderer Ansatz wäre:
Die Summe der Impuse muss in jedem Fall gleich bleiben, und zwar in jegliche Richtung der Raumzeit -einschließlich der Zeitrichtung (Energieerhaltung).
Du wirst den räumlichen Impuls in zwei verschiedene Richtungen aufteilen müssen, idealerweise in einen Anteil in Bewegungsrichtung des Positrons (x-Richtung) und einen quer dazu (y-Richtung). Die dritte räumliche Richtung brauchst Du nicht. Dann hättest Du für Positron und Elektron
(γmc; γmv; 0) + (mc; 0; 0) = ((γ+1)mc; γmv; 0),
und für das Photonenpaar (noch nicht das einzelne!)
(h/2π)·((ω₁+ω₂)/c; k₂[x]; k₁[y]+k₂[y]);
das musst Du gleichsetzen und Dir klar machen, dass
ω₁ = ck₁[x]
ω₂ = c√{k₂[x]² + k₂[y]²}
ist.
Hallo Atompilzgenuss,
ein bisschen rätselhaft ist die Aufgabe schon formuliert. Du schreibst etwas von einem Skalarprodukt des Positronen-Viererimpulses mit dem Photonen-Viererimpuls und schreibst für letzteren (hf/c;0), was nicht sein kann, wie @michiwien schon sagt. Der Betrag des Impulses ist beim Photon genauso groß wie die Energie (bis auf einen Faktor c natürlich).
Ich schreibe gern Spaltenvektoren als z.B.
(1.1) s› = (x; y; z) (';' als Zeilenwechsel),
den korrespondierenden Zeilenvektor als
(1.2) ‹s = (x, y, z)
und ein Skalarprodukt als
(1.3) ‹s₁,s₂› = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂.
Das Transponierte des Vierervektors
(2.1) s» = (ct; x; y; z) = (ct; s›)
ist jedoch nach The Big MINKOWSKI
(2.2) «s = (ct, –x, –y, –z) = (ct, –s›),
sodass ein Viererskalarprodukt
(2.3) «s₁,s₂» = c²t₁t₂ – x₁y₂ – y₁y₂ – z₁z₂ = c²t₁t₂ – ‹s₁,s₂›
ist. Vierervektoren von Photonen sind selbstorthogonal, sie ergeben 0.
Das Skalarprodukt eines Viererimpulses mit sich selbst ergibt eine Version der relativistischen Energie-Impuls-Beziehung
(3) «p,p» = (E/c)² – ‹p,p› = (mc)²,
die für Photonen und massive Objekte gleichermaßen gilt, „ruhende“ eingeschlossen.
das skalarprodukt zweier vierer-vektoren im Minkowski-raum sieht immer gleich aus!
warum sollte das plötzlich anders sein? was ist denn daran deiner meinung nach nicht "normal"?
allerdings ist, wie michiwien22 schon geschrieben hat, dein photon-impuls falsch. der muss immer licht-artig sein.
Ein Positron soll mit 180000km/s auf ein ruhendes Elektron treffen. Bei der Annihilation werden zwei Photonen frei, eines davon senkrecht zur Bewegungsrichtung des Positrons. Nun soll der Ablenkungswinkel des zweiten Photons und beide Wellenlängen bestimmt werden.