Signifikanztests..?

Hi, ich komme bei der Aufgabe gerade nicht weiter:

Eine Firma stellt für Werbezwecke billige Kugelschreiber her. Der Geschäftsführer behauptet, dass mindestens 97% der Kugelschreiber in Ordnung sind. Ein Grossabnehmer meint, dass es weniger sind. Mit einer Stichprobe von 50 Stück für der Grossabnehmer einen Signifikanztest durch.

Aufgabe: bestimmen sie für ein Signifikanzniveau von 5% den ablehnungsbereich für die Nullhypothese "es sind mindestens 97% der Kugelschreiber in Ordnung"

Wie muss man das machen?

Answer 1

[Rammstein53]

Nullhypothese: höchstens 3% der Kugelschreiber sind defekt

H0: p <= 0.03 (einseitig)

Erwartungswert µ = n*p = 50 * 0.03 = 1.5

Standardabweichung sigma = wurzel ( n * p * ( 1-p) ) ~ 1.206234

Aufgrund des Signifikanzniveau von 5% beträgt die Sicherheitswahrscheinlichkeit 0.95, der dazugehörige Z-Wert aus der z-Tabelle beträgt z = 1.6449

Für den Annahmebereich gilt dann

0 <= X <= µ + z*sigma

0 <= X <= 3.48

Die Nullhypothese wird also verworfen, wenn mehr als 3.48 Kugelschreiber defekt sind. Weil es nur ganze Kugelschreiber gibt, dann mehr als 3.

Diese Aussage wird von der Binomialverteilung bestätigt, denn für B(n,k,p) <= X gilt

B(50, 3, 0.03) <= X ergibt ~ 0.93724

B(50, 4, 0.03) <= X ergibt ~ 0.98319

Der Wert für p = 0.95 liegt somit zwischen 3 und 4.

Answer 2

[Mathetrainer]

Das ist ein linksseitiger Test, da p_1 < p_0 , da der Großabnehmer meint, es seien weniger Kugelschreiber in Ordnung. Es muss jetzt gelten:

$B_{n;0,97}\left(x\le k\right)<0,05$ Jetzt mittels TR ein k bestimmen, bei dem die Wahrscheinlichkeit kleiner ist als 0,05. Das so entstehende k ist die obere Grenze des Ablehnungsbereichs. Der Ablehnungsbereich läuft dann von [0;k]. Dies bedeutet:

Ergibt sich bei dem Test, dass weniger als k+1 Kugelschreiber in Ordnung sind, dann wird die Nullhypothese verworfen. Der Großabnehmer hat Recht.