Scheitelpunktform und quadratische Ergänzung?

4 Antworten

  • Im ersten Schritt wird die 5 ausgeklammert
  • Im zweiten Schritt ergänzt du die Hälfte von 4 zum Quadrat und ziehst es gleich wieder ab
  • Im dritten Schritt wendest du die bin. Formel (a-b)² rückwärts an.
  • Im vierten Schritt wird 5 mit -4 multipliziert, um die -4 aus der äußeren Klammer zu bekommen
  • Im fünften Schritt werden alle Konstanten außerhalb der Klammern zusammengerechnet
Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Mathematik

y = 5x² - 20x + 5

= 5 * x² - 5 * 4 * x + 5 (nun die 5 ausklammern)

= 5(x² - 4x) + 5 (nun in der Klammer quadratisch ergänzen)

= 5(x² - 4x + 2² - 2²) + 5 (nun die zweite binomische Formel rückwärts anwenden)

= 5((x - 2)² - 4) + 5 (nun die -4 mit dem Distributivgesetz aus der Klammer holen)

= 5(x - 2)² - 20 + 5 (nun zusammenfassen)

= 5(x - 2)² - 15.

und wie geht das quadratische Ergänzen? :o

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y = 5 x ² - 20 x + 5

[aus den ersten beiden Summanden klammert man den Koeffizienten des quadratischen Gliedes aus, also hier die 5:]

= 5 * ( x ² - 4 x ) + 5

[Jetzt kommt der Schritt, der immer am Schwierigsten ist (wirklich schwierig ist er aber auch nicht), nämlich die Bestimmung der "quadratischen Ergänzung". Dazu dividiert man das lineare Glied ( hier: 4 x ) durch 2 x und quadriert das Ergebnis. Man erhält die "quadratische Ergänzung" ( hier 2 ² ), die man innerhalb der Klammer addiert und, damit sich der Wert des Termes durch die Addition nicht ändert, gleich wieder subtrahiert:]

= 5 ( x ² - 4 x + 2 ² - 2 ² ) + 5

[Nun fasst man die ersten drei Summanden in der Klammer mit Hilfe der zweiten binomischen Formel zusammen. Das geht jetzt, da man im vorhergehenden Schritt die dazu erforderliche, passende quadratische Ergänzung hinzuaddiert hat.]

= 5 * ( ( x - 2 ) ² - 4 ) + 5

[Jetzt multipliziert man den Faktor 5 wieder in die Klammer hinein (nur in die äußere!) (hier befindet sich in deiner Rechnung ein Fehler, am Schluss muss + 5 stehen, nicht +15 :]

= 5 * ( x - 2 ) ² - 20 +5

[fasst die beiden letzten Summanden zusammen:]

= 5 ( x - 2 ) ² - 15

[und ist fast fertig. Man muss nun noch dafür sorgen, dass das erste Rechenzeichen in der Klammer ein " - " ist (das ist bereits der Fall) und dass das Rechenzeichen vor dem letzten Summanden ein " + " ist. Erst dann entspricht der Term formal der Scheitelpunktform
f ( x ) = a * ( x - d ) ² + e, also:]

= 5 ( x - 2 ) ² + ( - 5 )

Der Scheitelpunkt ist S ( 2 | - 5 )

Sorry, jetzt hab ich den Fehler selber übernommen ...
Die vorletzten beiden Zeilen müssen natürlich lauten:

= 5 ( x - 2 ) ² + ( - 15 )

Der Scheitelpunkt ist S ( 2 | - 15 )

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