Rotationsvolumen?
Durch Rotation des Graphen von f mit f(x) = √x um die x-Achse entsteht der Hohlkörper eines liegenden Gefäßes (x in cm). Dieses Gefäß wird aufgestellt und mit Wasser gefüllt.
a) Bis zu welcher Höhe steht das Wasser, wenn es mit 100 ml Wasser gefüllt wird?
b) Mit welcher Formel können Sie die jeweilige Höhe berechnen, in der die Skalierungsstriche für 100 ml, 200 ml, bis zu 1l gekennzeichnet werden?
Wie geht man hier vor?
1 Antwort
Das Rotationsvolumen bei Rotation um die x-Achse berechnet man bekanntlich mit π*Int(f(x)²dx).
Integrierst Du das nun mit Untergrenze 0 bis Obergrenze x, erhältst Du als Ergebnis (in Abhängigkeit von x) das Volumen V(x) (in cm³) vom Boden des Gefäßes bis zur Füllhöhe x.
a) setze V(x)=100 (1ml=1cm³) und rechne x aus
b) Stelle die Gleichung V(x)=... nach x um, somit hast Du eine Gleichung für die Höhe x (ist vielleicht besser von vornherein statt x die Variable h zu nehmen, also V(h)=...) in Abhängigkeit vom Volumen V. Jetzt brauchst Du nur die gewünschten Volumen einzusetzen und erhältst so die entsprechende Füllhöhe.