Reihen gleich => Folgen gleich?
Wenn zwei Reihen der Form
Σ a_n / 3^n = Σ b_n / 3^n gleich sind, sind dann auch die Folgen a_n = b_n ?
a_n und b_n sollen auch in {0,1,2} nur liegen
Was für Summen sollen das sein? Endlich oder unendlich?
Unendlich
3 Antworten
Nein, die Darstellung ist nicht eindeutig.
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Das kann man analog zum Dezimalsystem sehen. Im Dezimalsystem kann man auch jede reelle Zahl durch eine Dezimalbruchdarstellung als entsprechende Reihe darstellen... Für jede Zahl r ∈ [0, 1] findet man eine Folge
mit
Beispielsweise ist zu r = 1/12 = 0,08333... die entsprechende Ziffernfolge (0, 8, 3, 3, 3, ...). Also:
Jedoch ist diese Darstellung nicht unbedingt eindeutig. Denn man hat das Problem, dass 0,999.... = 1 ist, bzw. dann auch 0,0999... = 0,1 ist, etc. Dies führt zu möglichen uneindeutigen Ziffernfolgen. Beispielsweise:
Bzw. dementsprechend:
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Im konkreten Fall betrachtet man quasi die Darstellung im Stellenwertsystem mit Basis 3 (statt die Darstellung im Stellenwertsystem mit Basis 10). Dort hat man jedoch das gleiche Problem, wenn man unendliche Folgen mit sich wiederholender höchster Ziffer (hier: sich wiederholende 2) zulässt.
So ist dann beispielsweise einerseits
und andererseits aber auch
(Im Stellenwertsystem zur Basis 3 dargstellt gilt also quasi 0,2 = 0,122222....)
Ergebnis: Die Darstellung einer Zahl r ∈ [0, 1] in Form einer Reihe
mit einer Ziffernfolge
ist nicht eindeutig.
Die Abbildung ist, so wie du sie aufgeschrieben hast, nicht wohdefiniert, da die Abbildungsvorschrift nicht klar ist. Auf der einen Seite hast du a_n stehen, auf der anderen Seite b_n. Wie ist die entsprechende Folge der b_n im Zielbereich definiert?
Stimmt. Wäre diese Definition richtig?
F : [0,1] —> C
Σ a_n / 3^n |—> Σ b_n / 3^n
mit b_n = {2 falls a_n = 2, 0 für sonst.
Stimmt. Wäre diese Definition richtig?
F : [0,1] —> C
Σ a_n / 3^n |—> Σ b_n / 3^n
mit b_n = {2 falls a_n = 2, 0 für sonst.
Ok. Diese Abbildung geht nun andersrum ([0, 1] --> C statt C --> [0, 1]).
So wie du diese aufgeschrieben hast, ist diese Abbildung nicht wohldefiniert. Denn beispielsweise würde man 2/3 einerseits wegen
2/3 = Summe(n = 1..∞, a_n/3^n) mit a_n = 2 für n = 1 und a_n = 0 sonst
auf
2/3 = Summe(n = 1..∞, b_n/3^n) mit b_n = 2 für n = 1 und b_n = 0 sonst
abbilden.
Andererseits würde man 2/3 wegen
2/3 = Summe(n = 1..∞, a_n/3^n) mit a_n = 1 für n = 1 und a_n = 2 sonst
auf
1/3 = Summe(n = 1..∞, b_n/3^n) mit b_n = 0 für n = 1 und b_n = 2 sonst
abbilden.
Die Zahl 2/3 müsste also zugleich auf mindestens zwei verschiedene Zahlen abgebildet werden, was die Rechtseindeutigkeit der Abbildung verletzt.
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Ich glaube
b_n = {2 falls a_n = 1,2 und 0 für a_n = 0
wäre besser oder?
Ok. Auch hier geht die Abbildung nun andersrum ([0, 1] --> C statt C --> [0, 1]).
So wie du diese aufgeschrieben hast, ist diese Abbildung nicht wohldefiniert. Denn beispielsweise würde man 2/3 einerseits wegen
2/3 = Summe(n = 1..∞, a_n/3^n) mit a_n = 2 für n = 1 und a_n = 0 sonst
auf
2/3 = Summe(n = 1..∞, b_n/3^n) mit b_n = 2 für n = 1 und b_n = 0 sonst
abbilden.
Andererseits würde man 2/3 wegen
2/3 = Summe(n = 1..∞, a_n/3^n) mit a_n = 1 für n = 1 und a_n = 2 sonst
auf
1 = Summe(n = 1..∞, b_n/3^n) mit b_n = 2 für n = 1 und b_n = 2 sonst
abbilden.
Die Zahl 2/3 müsste also zugleich auf mindestens zwei verschiedene Zahlen abgebildet werden, was die Rechtseindeutigkeit der Abbildung verletzt.
Hmm. Ich finde es schwierig, eine entsprechende bijektive Abbildung anzugeben. (Zumindest, wenn die Abbildungsvorschrift einigermaßen einfach sein soll.)
Wenn es dir nur darum geht, dass C und [0, 1] gleichmächtig sind, so ist es viel einfacher, eine entsprechende Surjektion C --> [0, 1] anzugeben. Nämlich beispielsweise...
∑(n=1...∞, a_n/3^n) ↦ ∑(n=1...∞, a_n/2 * 2^(-n))
mit a_n ∈ {0, 2} für alle n
Das ist wohldefiniert, da die Darstellung ∑(n=1...∞, a_n/3^n) von den Zahlen in der Cantor-Menge tatsächlich eindeutig ist, da hier nur a_n ∈ {0, 2} und nicht auch a_n = 1 zugelassen wird.
Wegen dieser Surjektion erhält man dann |C| ≥ |[0, 1]|. Andererseits ist offensichtlich C eine Teilmenge [0, 1], also auch |C| ≤ |[0, 1]|, weshalb dann insgesamt |C| = |[0, 1]| ist, weshalb es dann eine bijektive Abbildung C --> [0, 1] geben muss. (Damit wäre gezeigt, dass es eine entsprechende Bijektion gibt. Aber solch eine Bijektion konkret anzugeben würde nicht ganz so schön werden.)
Σ a_n / 3^n = Σ b_n / 3^n gleich sind, sind dann auch die Folgen a_n = b_n ?
Nein
n läuft von 1 bis unendlich? a_n und b_n sind natürliche Zahlen 0, 1, oder 2?
Dann ist die Entwicklung eindeutig, d.h. gleiche Summe, gleiche Folgen.
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Nachtrag: mihisu hat natürlich recht, für die Eindeutigkeit muss man Folgen ausschliessen, die ab einer bestimmten Stelle nur noch die 2 enthalten.
a_n und b_n sind Folgen in {0,1,2} und die Reihe ist unendlich von n = 1 bis inf.
Dann gilt die Gleichheit der Reihen. Sind dann a_n und b_n gleich, d.h. a_n = b_n für alle n?
Hi, danke für Deine ausführliche Antwort! :)
Das ist mir jetzt klarer geworden. Jedoch hätte ich eine Frage zu meinem ursprünglichen Problem und würde mich freuen falls Du mir hierbei auch einen Rat geben könntest:
Warum ist dann aber die Abbildung
F : C —> [0,1]
Σ a_n / 3^n |—> Σ b_n / 3^n
wohldefiniert?
Hierbei ist C = {Σ a_n / 3^n : a_n ∈ {0,2}} die Cantorsche Menge in [0,1]
und [0,1] = {Σ b_n / 3^n : b_n ∈ {0,1,2}}. Die Abbildung F stehlt ja gerade die Bijektion von C zu [0,1] dar und zeigt, dass C überabzählbar ist.