Regula Falsi?
Hallo, ich bin in der 9. Klasse auf einem Gymnasium. Da mir der normale Mathestoff zu langweilig ist, hat mir mein Mathelehrer jetzt aus dem Buch der 11. Klasse eine Seite zum Regula Falsi kopiert. Er meinte, ich soll das mal versuchen zu verstehen. Ich habe es jetzt mal probiert, aber ihrgendwie hab ich das Gefühl, dass man da Vorwissen braucht, was ich nicht habe (Newton Verfahren, Bisektionsverfahren).
Kann vielleicht jemand mal probieren es so zu erklären, das man mit dem Wissen aus der 9. eine Chance hat, es zu verstehen?
Das wäre sehr nett
Danke
3 Antworten
Stell dir vor, du suchst eine Stelle auf einer Linie (dem Graphen einer Funktion), wo der Wert genau Null ist, und du kennst zwei Punkte auf der Linie:
- Ein Punkt ist zu groß (also positiv, über Null).
- Ein Punkt ist zu klein (also negativ, unter Null).
Du weißt, dass der Graph dazwischen ungefähr gerade ist (also keine großen Kurven macht). Jetzt willst du ermitteln, wo der Wert genau Null ist. Die Regula Falsi hilft dir, dich schrittweise der Lösung zu nähern.
Wie das graphisch aussieht, kannst du in dieser Animation sehen:
https://de.wikipedia.org/wiki/Regula_falsi#/media/Datei:Regula_falsi.gif
Rechnerisch geht das dann so:
1) Schätze grob ab, wo die Funktion eine Nullstelle haben könnete.
2) Wähle zwei beliebige Punkte. Der eine liegt links neben der vermuteten Nullstelle, der andere liegt rechts neben der vermuteten Nullstelle. Beide Punkte müssen dann bei ihrem y-Wert unterschiedliche Vorzeichen haben.
2) Zwischen diesen Beiden Punkten rechnest du die Sekantengleichung aus (erforderliches Vorwissen: Gerade aus zwei Punkten ermitteln). Dort, wo diese Sekante die x-Achse schneit (y = 0), ist der x-Wert des neuen Punktes.
3) Mit diesem neuen x-Wert errechnest du den neuen Punkt auf dem Graphen der Funktion, der den alten ersetzt (je nach Vorzeichen den linken oder rechten).
4) Nun beginnst du mit dem Verfahren wieder bei 1).
Mit jedem Durchlauf dieser Schleife näherst du dich immer weiter dem tatsächlichen Nullpunkt der Funktion an. Du kannst dann das Verfahren abbrechen, wenn die beiden Punkete links und rechts so dicht zusammenrücken, dass dir die Genauigkeit der Näherungslösung ausreicht. Du kannst z.B. am Anfang festlegen, dass du die Nullstelle, also den Schnittpunkt des Graphen mit der x-Achse, auf 2 stellen hinter dem Komma genau haben möchtest. Sobald sich diese Stelle nicht mehr ändert, kannst du mit dem Verfahren aufhören.
Regula Falsi ("vom Falschen ausgehend") ist ein iteratives Näherungsverfahren zur Nullpunktsuche einer schwer exakt zu berechnenden Funktion. Dieses Verfahren nützt die 1. Ableitung bei einem Punkt, den man in der Nähe der Nullstelle vermutet. Da, wo die (hoffentlich einfacher zu berechnende) Tangente selbst ihre Nullstelle hat, ist der neue x-Wert, der nun näher bei der Nullstelle der Funktion ist. Von hier aus wird die R.F. wieder angewendet, solange, bis man die Nullstelle der Funktion in der gewünschten Genauigkeit bestimmt hat.
Man kann z.B. zwei Werte x1 und x2 suchen, für die die zugehörigen Funktionswerte verschiedene Vorzeichen haben.
Dann liegt (bei stetigen Funktionen) zwischen x1 und x2 eine Nullstelle. Die Stecke von (x1, y1) nach (x2, y2) schneidet die x-Achse bei x3. Der Funktionswert dort sei y3. Nun ersetzt nan eine der Punkte (x1, y1) oder (x2, y2) durch (x3, y3), so dass die y-Werte verschiedene Vorzeichen haben. Das kann man beliebig oft wiederholen, um sich an die Nullstelle heranzuarbeiten.
Wer zu faul ist, den Schnittpunkt x3 zu berechnen, darf auch einfach x3 = (x1 + x2)/2 nehmen. Das dauert dann aber insgesamt länger.
Das ist das Newton-Verfahren.
Dazu braucht man Differentialrechnung, um die Ableitung zu berechnen.
Das hatten wir erst in der 11. Klasse. Es ist aber durchaus möglich, einer Schülerin der 9. Klasse zu zeigen, wie man das zumindest für ganzrationale Funktionen macht. Ist ja wirklich nicht schwierig.
Schwieriger wird es, zu erklären, warum das so funktioniert. Aber das kommt später 😉.