Rechenweg, Logarithmus, Umformung?
Hallo,
habe ein Mathematisches Problem.
Ich kenne zwar die Lösung, aber ich komme nicht auf den Rechenweg.
Habe rumprobiert, aber kann die Gleichung nicht auf die Variable umformen.
Hat jemand einen Lösungsvorschlag, wie sich die Aufgabe rechnerisch ohne Technologieeinsatz lösen lässt?
https://blog.zeit.de/mathe/allgemein/mathematikunterricht-schule-frauen/
5 Antworten
Wenn jede Schäferin (y) so viele Schafe hätte, wie es Schäferinnen gibt, dann hätten wir ja y*y Schafe. (Jede Schäferin hat y Schafe, und es gibt y Schäferinnen) Und y*y=y². Aber jede hat doppelt so viele, also 2*y*y=2y².
Das ist dann gleich die Anzahl Schafe, da ja nun alle verteilt sind. Also 2y²=x
Die Zählweise immer das doppelte ist ja 2^y.
Denn :
2¹=2,
2²=4,
2³=8...
Aber warum ist es hoch (y-1) und nicht einfach hoch y?
Wir fangen bei 1 an und verdoppeln, nicht bei 2.
2^(1-1)=2^0=1,
2^(2-1)=2^1=2,
2^(3-1)=2^2=4...
Die letzte Schäferin ist also y-1, nicht y.
Wenn wir die Schafe so verteilen, dann sind auch alle verteilt. Also 2^(y-1)=x
Aus 2y²=x und 2^(y-1)=x folgt dann 2y²=2^(y-1).
Achso sorry.
2^(y-1)=(2^y)/2
Also:
2y²=(2^y)/2
4y²=2^y
4y=2^(y/2)
4=2^(y/4)
y=8
Wenn ich davon ausgehen darf, dass 2^2=4 trivial genug ist.
Sonst setze z für y/4 ein.
An dieser Stelle bin ich momentan auch „gestrandet“. Das y steht entweder einmal „normal“ da und ein mal im Exponenten oder einmal „normal“ und ein Mal im Logarithmus. Immerhin: Wenn man y=8 setzt, kommt das Richtige raus, aber Ausprobieren ist nicht wirklich das Wahre.
Ich muss noch etwas darüber nachdenken.
Ersetze y/4 mit, dann 4=2^z=2^(y/4)
log_2 (4)=2 (Ist ja das gleiche, wie 2^2=4, nur formeller, einen Rechenweg für Logarithmen gibt es nämlich nicht wirklich, das ist ja einfach definiert.)
z=2.
2=z=y/4
y=8
So sparst du dir jedenfalls schwierige Logarithmus-Rechnungen
Hallo,
wie von den anderen gezeigt, kannst Du die Gleichung immerhin zu 2^x=4x² und nach Wurzelziehen auf beiden Seiten zu 2^(x/2)=2x umformen.
Eine solche Gleichung ist nicht trivial lösbar, kann aber zu einer Gleichung
y=u*e^u umgeformt werden:
2^(x/2)=e^ln(2^(x/2))=e^((x/2)*ln(2))
Nach Teilen durch e^((x/2)*ln(2)) bekommst Du
2x*e^(-x/2)*ln(2))=1 |*-1/4
(-x/2)*e^((-x/2)*ln(2))=-1/4 |*ln(2)
(-x/2)*ln(2)*e^((-x/2)*ln(2))=-1/4*ln(2)
Nun sind Faktor und Exponent auf der linken Seite gleich und können durch u substituiert werden:
u*e^u=-1/4*ln(2)
Eingegeben in ein Programm, das die Lambertsche W-Funktion beherrscht, bekommst Du für u zwei Werte:
Lambertsche W-Funktion
Argument x = -0.173287
Funktionswert =
-0.21481112
Funktionswert Nebenzweig =
-2.77258872
Da u=(-x/2)*ln(2), ist x=-2u/ln(2)
Du bekommst so für x die beiden Lösungen x1=0,6198138751, die natürlich nur für eine Nullstellensuche, aber nicht für Schäferinnen interessant wäre;
und x2=8,0095, das hinreichend nah an der tatsächlichen Lösung x=8 ist.
Die Abweichung entsteht dadurch, daß die Lambertsche W-Funktion auch von einem Computerprogramm nur über Näherungen bestimmt werden kann.
Du kommst also letztlich nicht um ein Näherungsverfahren herum, findest aber im Gegensatz zum Verfahren durch bloßes Einsetzen natürlicher Zahlen für x tatsächlich noch eine zweite Lösung, die allerdings irrational ist.
Herzliche Grüße,
Willy
Lambertsche W-Funktion ............. danke , wunderte mich schon wo das W in der Lösung bei Wolfram herstammt .
da hier die Lösung 8 ist , kann man wohl auch mit konsequemten probieren ( und hoffen ) zur lösung kommen oder sich dahin ackern !
Ja. Bei dieser Aufgabe wäre die Lambertsche Funktion ein wenig übertrieben, da die andere Lösung ohnehin nicht in Frage kommt und man relativ einfach auf x=8 kommen kann.
Wenn Du aber so eine Funktion hast und nach Nullstellen suchst, sieht die Sache anders aus.
eben eben ........... man sollte schon den allgemeinen Weg zeigen ...............aber wir wissen natürlich wieder nicht , ob es dem FS erlaubt ist zu "raten" ...........
Eigentlich gibt es für diese Art von Gleichung keinen 'sauberen' Weg.
Die Lambert-Funktion ist nicht trivial lösbar. Du brauchst entweder Tabellen oder einen Computer. Welche Werte da auch geboten werden - sie sind durch Näherungsverfahren entstanden.
Warum ich diese Funktion mag, ist Folgendes: Der Zwang, die Gleichung zu u*e^u umzuformen, ist eine gute Übung für Äquivalenzumwandlungen.
Außerdem findet man so wirklich alle Lösungen, nicht nur die, auf die man durch 'Herumprobieren' gestoßen ist.
Für Schüler aber bietet sich in solchen Fällen eher das Newton-Verfahren an (auch Tangentenverfahren genannt), für das ein normaler Taschenrechner genügt.
Im Falle einer Aufgabe wie der vorliegenden ist wegen der Einschränkung des Definitionsbereichs auf natürliche Zahlen (sogar auf relativ niedrige, weil Herden von Millionen und Abermillionen von Schafen sehr unrealistisch wären und die Zweierpotenzen rasch ansteigen), wohl nichts dagegen einzuwenden, mal ein paar Zahlen einzusetzen und zu schauen, ob man nicht schon so einen Volltreffer landet.
Mich persönlich reizte es nun mal, zu sehen, ob ich die Umformung der Gleichung hinbekomme, um in Übung zu bleiben.
Da y einmal so und einmal im Exponenten auftritt, haben wir eine transzendente Gleichung, die sich nur in Spezialfällen ohne Ausprobieren lösen lässt.
Immerhin können wir noch etwas weiter umformen:
2^(y-1) = 2 y^2
2^(y-2) = y^2
Damit ist y^2 eine Potenz von 2 - es ist ja eine "Diophantische" Gleichung, eine Gleichung, für die nur ganzzahlige Lösungen gesucht werden.
Weil 2 eine Primzahl ist, folgt, dass auch y eine Potenz von 2 sein muss. Also gibt es ein ganzzahliges z mit
y = 2^z
Damit
2^(2^z-2) = (2^z)^2 = 2^(2 z)
Jetzt können wir logarithmieren zur Basis 2:
2^z - 2 = 2 z
2^z = 2 z + 2
bzw.
2^(z-1) - 1 = z
Jetzt ist das Ausprobieren nicht mehr so langwierig.
Wir können noch einen Schritt weitergehen, was das Logarithmieren zur Basis 2 betrifft:
2^(z-1) = z+1
Den Summanden bei der Variablen wollen wir loswerden, also noch eine Substitution:
w := z+1
2^(w-2) = w
Wiederum haben wir eine Zweierpotenz, nämlich w:
w = 2^v
Logarithmieren beider Seiten:
2^v - 2 = v
2^v = v+2
Mit
u := v+2
2^(u-2) = u
Das hatten wir oben schon mit w statt u. Damit ist u = w ein Kandidat für eine Gleichung, die zur Lösung führt.
Aber es könnte noch weitere geben.
Wie viele maximal?
Eine Exponentialfunktion mit Basis > 1 ist immer linksgekrümmt, eine Gerade ist nicht gekrümmt. Die Steigung der Exponentialfunktion ist positiv. Damit hat
b^x = a x
für a>0, b>1
keine, eine oder zwei Lösungen im Reellen. (Im Ganzzahligen maximal so viele wie im Reellen.)
Schauen wir uns
2^u - 4 u = 0
an. Für u = 0 ist
2^u - 4 u = 1 > 0
für u = 1
2^u - 4 u = -2 < 0
wegen der Stetigkeit der beteiligten Funktionen liegt also eine reelle Lösung zwischen 0 und 1; diese ist nicht ganzzahlig und liefert damit keine Lösung für das Ausgangsproblem. Wenn es also überhaupt eine Lösung gibt, dann die, für die u = w ist.
Leider führt das in diesem Fall nicht weiter, weil wir durch geeignetes Einsetzen
2^(w-2) = w = 2^(u-2)
erhalten, was wegen w=u offensichtlich eine Sackgasse ist.
Wenigstens ist die Lösung (für w bzw. u) höchstwahrscheinlich in der Größenordnung der beteiligten Vorfaktoren, oder etwas größer, ggf. 2 hoch diese Zahl. Also 1 oder 2 oder 2^1 oder 2^2, möglicherweise 2^3, vielleicht 2^4.
Tatsächlich ist
2^8 - 4 * 8 = 224 > 0
also liegt die Lösung - wenn sie (gamzzahlig) existiert - irgendwo zwischen 1 und 8. (und ist eine Potenz von 2, also brauchen wir nur 2 und 4 auszuprobieren.)
Hallo googolcraft,
die erste Bedingung kannst Du durch
ausdrücken, was sich zu
(1.2) x = 2y²
umformen lässt. Die zweite Bedingung lässt sich durch
ausdrücken, und natürlich lassen sich (1.2) und (2) zu
zusammenfassen und zu
umstellen und das zu
hmn, y kann man wohl nur numerisch lösen, selbst wolfram alpha hat keine schritt für schritt lösung parat:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=2*log2(y)%3Dy-2
wobei:
2 auf die andere seite bringen und 2 ausklammern zeigt dass y ne gerade zahl ist.
demnach y=2k schreiben und einsetzen.
ergibt
2*log(2k)=2k-2
2 überall ausklammern, wegstreichen
log2(2k)=k-1
ergo
2k=2^(k-1)
durch 2 teilen
k=2^(k-2)
nujn irgendwie das k finden das diese gleichung erfüllt.
damit y berechnen.
damit x berechnen.
stumpfes ausprobieren der ersten 4 zahlen bringt zu tage dass k=4 sein muss. (wie berechnet man das formal?)
da 4=2^(4-2)=2^2 =4 ist
damit y=8
damit x=2*y^2=2*8^2=2*64=128
also ausser dem schritt
irgendwas=2îrgendwas
zu lösen ist die aufgabe fertig :-D
... wie lässt sich die Gleichung 2y² = 2^(y-1) auf die Unbekannte y umformen?
Hallo, danke für deine Antwort.
Aber soweit bin ich selbst gekommen.
Meine Frage ist vielmehr, wie ich die Gleichung 2y²=2^(y-1) auf y umformen kann. Wenn ich logarithmiere, dann ist die Unbekannte im Logarithmus eingeklammert ...