Quadratische Gleichungen Mathe Aufgabe lösen?
Kann mir jemand diese Mathe-Aufgabe erklären? Ich habe mir auch schon die Lösungen angeschaut bin aber immer noch bisschen verwirrt.
3 Antworten
Also wenn der Einsatz eines Funktionenplotters erlaubt ist und sowieso nur ungefähre Ergebnisse gefragt werden, ist das das Mittel der Wahl. Das geht am schnellsten, einfachsten und hat die wenigsten Fehlerquellen.
So sieht die Funktion aus:
a) Abwurfhöhe bei t = 0 beträgt 1,8 m
b) Der Ball ist 3,3 s in der Luft. Da schneidet der Graph die x-Achse.
c) Der Ball ist nach ca. 1,6 s am höchsten Punkt
d) Da zeichnen wir bei h = 12,5 eine waagrechte Linie ein:
Der Ball hat jeweils nach 0,95 s und 2,25 s die Höhe von 12,5 m
e) blau: a = 1
rot: a = 2
grün: a = 10
schwarz: a = 20
Ergebnis:
Mit zunehmendem a erhöht sich die Flughöhe h_max. Dabei liegt h_max in der Nähe von a.
Mit zunehmendem a verlängert sich die Flugzeit. Bei a = 1 beträgt sie ca. 0,7 s und erhöht sich bei a = 20 auf ca. 4,1 s. Die maximale Flughöhe wird in etwa bei t = a/10 in s erreicht.
Hi,
ich versuche mal, dir die Aufgaben zu erklären. Manchmal musst du nämlich gar nicht so komplex ausrechnen, wie es die Lösungen vorgeben (zumindest meiner Meinung nach).
Aufgabe a)Die Abwurfhöhe entspricht der letzten Zahl in der Funktionsgleichung. Wenn du für t die Zahl 0 einsetzt (denn x = 0 beim Schnittpunkt mit der y-Achse, was der Abwurfhöhe entspricht), dann bleibt der letzte Term übrig, also die 1,8 m.
Aufgabe b)Um zu ermitteln, nach wie vielen Sekunden der Ball auf dem Boden ankommt, musst du die Nullstellen deiner Funktion ermitteln. Der Boden entspricht ja der x-Achse, sodass du schauen musst, wann die Funktionsgleichung diese schneidet.
Bei dem Schnittpunkt mit der x-Achse ist der y-Wert (also h(t)) = 0. Du schreibst also:
0 = -5t² + 16t + 1,8.
Nun musst du die Form der Gleichung hinbekommen, bei der du die pq-Formel anwenden kannst. Dafür musst du die gesamte Gleichung durch -5 (also der Zahl vor dem t²) teilen. Du erhältst:
0 = t² - 1,6t - 0,36.
Das setzt du in die pq-Formel ein und erhältst
t1 = -0,11; t2 = +3,31.
Der Ball kommt also nach 3,31 Sekunden auf dem Boden auf; der andere Wert ist negativ und kann damit vernachlässigt werden (wir gucken uns nur die t-Werte größer Null an).
Aufgabe c)Der höchste Punkt der Flugkurve ist am sogenannten Scheitelpunkt erreicht. Hier ist der genaue y-Wert jedoch egal, da nur danach gefragt ist, nach wie vielen Sekunden der Ball den höchsten Punkt erreicht wird. Es interessiert also nur der t-Wert der Scheitelstelle.
Den Scheitelpunkt musst du gar nicht mehr kompliziert ausrechnen, denn der Scheitelpunkt ist der Wert -p/2 (also der erste Term deiner pq-Formel). p ist die Zahl (mit Vorzeichen) vor dem t in deiner Gleichung, wenn du alles durch die Zahl (mit Vorzeichen) vor dem t² geteilt hast.
Der t-Wert des Scheitelpunktes liegt genau zwischen den t-Werten der Nullstellen. Das ist deshalb so, da dieser Term genau "in der Mitte" liegt: Danach steht ja etwas mit "plus Minus Wurzel irgendwas". Da du für die beiden Nullstellen einmal den Wurzelterm abziehst (für die erste Nullstelle) und einmal addierst (für die zweite Nullstelle), entspricht der Wert von -p/2 der Scheitelstelle der Funktion. Das wird für Aufgabe e nochmal relevant.
Deine gesuchte Zahl ist also t = 1,6. Vielleicht fällt dir ja auf, dass das die Zahl aus der Ausgangsgleichung ist, dividiert durch 10 (einmal durch -5 wegen der pq-Formel und dann nochmal durch -2 wegen -p/2).
Aufgabe d)Hier hast du die Höhe 12,5 Meter gegeben. Dazu willst du nun den t-Wert wissen. Also setzt du die Funktionsgleichung mit 12,5 gleich:
h(t) = 12,5
-5t² + 16t + 1,8 = 12,5
-5t² + 16t - 10,7 = 0
t² - 3,2t - 0,36 = 0
Und wieder die pq-Formel ergibt:
t1 = 0,95; t2 = 2,25.
Aufgabe e)Der Parameter a ist der Wert vor dem t in deiner Ausgangsgleichung. Wie ich dir schon in den Ausführungen für c dargelegt habe, musst du für die t-Werte nicht viel rechnen; Du nimmst irgendeinen Wert für a und teilst ihn durch 10. Schon hast du das t deines Scheitelpunktes. Das heißt: Je größer a, desto länger dauert es, bis der Scheitelpunkt (also die maximale Höhe) erreicht ist.
Für den y-Wert musst du natürlich trotzdem noch den t-Wert in die Gleichung einsetzen und dann ausrechnen, was raus kommt. Aber das schaffst du auch selbst :)
Ich hoffe ich konnte dir helfen. Beit Fragen melde dich.
LG
a) verwirrrrrrrt bei a) ?
h t ist die Höhe
wenn man für t die zeit einsetzt .
Daher ist Lösung a) nun klar