Quadratische Funktionen? Scheitelpunkt herausfinden?
Wie finde ich da den Scheitelpunkt raus?
y=x²-10x +26
7 Antworten
Prinzipiell 2 Möglichkeiten:
1) das Maximum (Mimimum) bestimmen:
y nach x ableiten: y' = 2x - 10
y' nullsetzen: 2x - 10 = 0 -> x = 5
y-Wert bestimmen: y = 5² - 10*5 + 26 = 25 - 50 + 26 =1
2) mit quadratischer Ergänzung die Scheitelpunktform finden:
y = x² - 10 x + 26
Dies soll in die Form (x-u)² + v übergeführt werden
aus (a - b)² = a² - 2ab + b² ergibt sich durch den vergleich mit x² - 10 x + 26:
a = x; 2ab = 10x -> b = 5
es ist also
(x-5)² = x² - 10x + 25
gesucht ist aber x² - 10 x + 26, deshalb einfach die fehlende 1 addieren:
(x-5)² + 1 = x² - 10x + 25 + 1 = x² - 10 x + 26
Es gilt also: y = x² - 10 x + 26 = (x-5)² + 1
In dieser Darstellung ist das, was von x abgezogen wird (hier: 5) die x-Koordinate des Scheitelpunkts, das was hinten addiert wird (hier: 1) die y-Koordinate des Scheitelpunkts.
- Möglichkeit: Die Extremstelle bestimmen
Bedingung "Maximum" f´(x)=0 und f´´(x)<0
" "Minimum" f´(x)=0 und f´´(x)>0
y=f(x)=x²-10*x+26 abgeleitet
f´(x)=2*x-10 Nullstelle bei x=10/2=5
f´´(x)=2>0 also liegt hier ein "Minimum" vor
- y=f(5)=5^2-10*5+26=1
- Scheitelpunkt bei Ps(5/1)
weitere Möglichkeit mit vorgefertigter Formel
allgemeine Form y=f(x)=a2*x²+a1*x+ao
Scheitelpunktform y=f(x)=a2*(x-xs)²+ys
Scheitelkoordinaten bei xs=-(a1)/(2*a2)=-(-10)/(2*1)=5 und ys=-(a1)²/(4*a2)+ao
ys=-(-10)²/(4*1)+26)=1
Scheitelpunkt auch hier bei Ps(xs/ys)=(5/1)
weitere Möglichkeit mit der "quadratischen Ergänzung"
f(x)=1*x²-10*x+26 nun die 1 ausklammern
=1*(x²-10*x)+26 binomische Formel anwenden (x-b)²=x²-2*b*x+b²
2*b=10 also b=10/2=5 und b²=25
=1*(x²-10*x+25-25)+26 nun die -25 ausklammern
=1*x²-1*10*x+1*15-1*25+26 nun die 1 ausklammern
=1*(x²-10*x+25)-25+26=1*(x²-10*x+25)+1 binomische Formel anwenden
(x-b)²=x²-2*b*x+b² mit b=5 und b²=25
f(x)=1*(x-5)²+1
Hinweis: Die "quadratische Ergänzung" ist +25-25=0 .Hier wird die Gleichung nicht verändert,sondern nur umgeformt.
Scheitelpunktform y=f(x)=a*(x-xs)²+ys also Scheitelpunkt bei xs=5 u. ys=1
Quadratisch ergänzen also:
x*2*-10x+26=x2-px+q
binomische formel rückwärts abwenden
(Verkürzt) ich füge eigentlich immer nur das hinzu also hinter px: +(p/2)*2* -(p/2)*2*
= x*2*-10x+(10/2)*2* -(10/2)*2*+26
sowie ich es aufgeteilt habe rechnest du es zusammen und bekommst die scheitelpunktform. Aus der kannst du dein scheitelpunkt ablesen: f(x) oder y=(x+-d)+-c
wenn jetzt beispiels weise y=(x+5)-7
ist der scheitelpunkt S(-5|-7), die zahl in der klammer also der x achsenabschnitt dreht sich ein plus zu minus und minus zu plus.
Ich hoffe dass war einigermaßen verständlich. für den fall kannst du dir auch viele videos in youtube anschauen die gut erklären.
( *2* bedeutet hoch2
f(x)=x²-10x+26=x²-10x+25-25+26=(x-5)²+1
