Probleme beim Umformen?
Im Rahmen einer vollständigen Induktion habe ich die Ind.Behauptung und den Ind.Schritt korrekt aufgestellt und muss nun nurnoch vom von der Ausgangsformel auf die Behauptung zurückschließen, um den Beweis zu beenden. (Ich bitte darum, sich nicht zu lange an diesem Punkt aufzuhalten. Ich weiß, dass ich wahrscheinlich nicht gerade toll erklärt hab, was ich meine. Es geht mir nur ums umformen. In der Musterlösung ist ein Großteil der Schritte nicht angegeben. Das ganze sind freiw. Übungsaufgaben, keine Ha.)
Soweit stimmt auch alles mit der Musterlösung überein, allerdings habe ich keine Ahnung, wie das umgeformt werden könnte.
Gegeben sind die aktuelle Formel die umgeformt werden muss:
und die Behauptung, die schlussendlich rauskommen muss:
Hat jemand eine Idee wie man da strukturiert rangehen könnte?
Die folgenden Schritte wurden in der Musterlösung gemacht, die verstehe ich aber noch weniger. Ich habe sie erstmal einbehalten, in der Hoffnung, dass jemand einen besser verständlichen Ansatz hat.
Vor allem ist mir unklar, wie das n von vorne in die eckigen Klammern kommt
3 Antworten
schrittweise ausmultiplizieren und dann zusammenfassen
in beiden Fällen erhält man am Ende
Bei der Umformung fehlt für den zweiten Bruch der Teil hinter dem Plus-Zeichen vor der 6 auf dem Zähler des ersten Bruchs. [+ 6 * (n + 1)²].
Das müsste unten zusätzlich auf den Zähler als [+ 6 * (n + 2)²]
Tut es aber nicht. So sah der erste Bruch vorher aus, ich hab nur bereits alles auf einen Nenner gebracht.
Dann bräuchte ich noch den rechten Teil der Gleichung, die bewiesen werden soll.
Ohne die kann ich keine Umformungen nachvollziehen.
Was du bisher hast ist der erste Summand auf dem Zähler, wobei n durch n+1 ersetzt wurde. Der Nenner natürlich auch. Der zweite Summand ist nicht mitgenommen. Damit allein kann man keine Induktion beweisen, da man Umformung auch auf die rechte Seite übertragen muss.
Das kann beispielsweise durch die Differenz der Werte von (n+1) und (n) sein, links und rechts und dann zeigen, dass die Differenzen gleich sind.
Habe ich gesehen, ist aber weiterhin nur ein Term.
Bei einer Induktion soll doch immer eine Gleichung bewiesen werden, angefangen für n=1 und dann für jedes weitere n.
Sorry, ohne rechte Seite komme ich damit nicht klar, weil ich nach einer Termumformung nichts habe, um das auf Gleichheit zu prüfen.
n * (n + 1) * (2n + 1) + 6 * (n + 1)² =
(n + 1) * [n * (2n + 1) + 6 * (n + 1)] =
(n + 1) * [2n² + n + 6n + 6] =
(n + 1) * [2n² + n + 4n + 2n + 6] =
(n + 1) * [(n + 2) * 2n + 3n + 6] =
(n + 1) * [(n + 2) * 2n + (n + 2) * 3] =
(n + 1) * [(n + 2) * (2n + 3)] =
(n + 1) * ((n + 1) + 1) * (2n + 2 + 1) =
(n + 1) * ((n + 1) + 1) * (2 * (n + 1) + 1)
Achso, der erste Schritt ist einfach das Assoziativgesetz gell? Ist mir irgendwie erst aufgefallen als ich das " * " hinter dem n gesehen hab...
Ich bin mir nicht sicher ob ich die Behauptung nachträglich ausmultiplizieren darf, aber schonmal ein guter Lösungsansatz.