Für welche Werte des Parameters k hat die folgende Gleichung 2 Lösungen: "x (3 x – 4) = k" Wie bestimmt man den Parameter k generell?
3 Antworten
x * (3x-4) = k ... Ausmultiplizieren
3x² - 4x = k | -k
3x² - 4x - k = 0
Möglichkeit1: abc-Formel
x1,2 = ( - b +- Wurzel( b² - 4ac ) ) / ( 2 * a ) mit a = 3, b = -4, c = -k
x1,2 = ( - (-4) +- Wurzel( (-4)² - 4 * 3 * (-k) ) ) / ( 2 * 3 )
x1,2 = ( 4 +- Wurzel( 16 + 12k ) ) / ( 6 )
Wenn 16 + 12k positiv ist, dann wird es zwei Lösungen geben.
16 + 12k > 0 | -16
12k > -16 | : 12
k > -16/12
k > -4/3
Antwort: Für alle reellen k > -4/3 hat die Gleichung x(3x-4) = k zwei Lösungen.
Möglichkeit2: pq-Formel
3x² - 4x - k = 0 | * 1/3
x² - 4/3 x - k/3 = 0
x1,2 = - p/2 +- Wurzel( (p/2)² - q ) mit p = -4/3 und q = -k/3
x1,2 = - (-4/3)/2 +- Wurzel( ( (-4/3)/2 )² - (-k/3) )
x1,2 = 2/3 +- Wurzel( (2/3)² + k/3 )
x1,2 = 2/3 +- Wurzel( 4/9 + k/3 )
Auch hier ergeben sich zwei Lösungen wenn der Wert unter der Wurzel positiv ist.
4/9 + k/3 > 0 | - 4/9
k/3 > -4/9 | * 3
k > -4/9 * 3
k > -4/3
Antwort: Für alle reellen k > -4/3 hat die Gleichung x(3x-4) = k zwei Lösungen.
Wir wollen wissen, für welche Werte von k ∈ ℝ die Gleichung x (3x - 4) = k (1) zwei Lösungen (*) hat.
Um sicherlich alle Parameter k abzudecken, welche die obige Bedingung erfüllen, erweist sich folgendes Vorgehen als hilfreich:
Forme (1) nach null um. D.h.
x (3x - 4) = k <=> 3x² - 4x = k <=> 3x² - 4x - k = 0 (2)
Setze die Koeffizienten von (2) wenigstens in die Diskriminante der Mitternachtsformel ein:
=> x_1/2 = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)
Die Diskriminante D = b² - 4ac = (-4)² - 4 * 3 * (-k) = 16 - (-12k) = 16 + 12k mit k ∈ ℝ muss grösser gleich null sein, anderenfalls existiert keine reelle Lösung.
Wir wissen:
- Für D < 0 hat die Gleichung keine Lösung in ℝ.
- Für D = 0 hat die Gleichung genau eine Lösung in ℝ.
- Für D > 0 hat die Gleichung genau zwei Lösungen in ℝ (*).
(*) Wir suchen einen Wert k ∈ ℝ, der die zuletzt angeführte Bedingung erfüllt. Um k herauszufinden, setzen wir D = 0 und lösen nach k auf. Daraus folgt: k = -16/12 = -4/3.
Daraus folgt, dass (1) für alle k > -4/3 mit k ∈ ℝ zwei Lösungen hat.
Ich würde ausmultiplizieren, alles auf eine Seite bringen, normalisieren und pq-Formel anwenden. Entsteht unter der Wurzel ein positiver Ausdruck, so gibt es zwei Lösungen. Das heißt, du musst nochmal den Wert unter der Wurzel nullsetzen und nach k umformen.