LGS mit Parameter muss unendlich viele Lösungen, eine Lösung und keine Lösung haben?
Hallo zusammen und zwar komme ich mit folgendenser Teilaufgabe nicht klar, die Aufgabe lautet zunächst: Zeige das sich für das folgende LGS I: a-b-(r/3)c= 1 II: 3b-rc=0 III: 3a-3b+r^2c= r+2 Die Gleichung (r^2-r)c=r-1 ergibt. Das habe ich soweit gerechnet und auch hinbekommen, aber nun lautet es noch :
Für welchen Wert des Parameters r hat das Gleichungssystem aus Teilaufgabe a) keine Lösung, genau eine Lösung, unendlich viele Lösungen? Gebe jeweils die Lösungsmengen an. Und hier weiß ich nicht wie vorgehen soll. Wäre dankbar für eine Aufklärung.
2 Antworten
Setze r einfach mal 0:
(0²-0)c = 0 -1
0 = -1
ist ein Widerspruch und damit hat das LGS keine Lösung.
Setz mal r = 1.
(1²-1)c = 1-1
0 = 0
Damit gibt es hier genau eine Lösung
Für jedes andere r zB r = 2 gilt:
(2²-2)c = 2 - 1
2c = 1
Damit hat es unendlich viele Lösungen weil diese Gleichung ja immer noch von c abhängt.
Btw ist dir der Zusammenhang zwischen dem LGS in Matrixschreibweise mit der Determinante der Koeffizientenmatrix bekannt?
An diser Determinante kannst du auch erkennen ob es eine Lösung gibt, oder ob es gar keine bzw unendlich viele gibt.
Ob es gar keine oder unendlich viele gibt kann man, am Ende des Gaußschen Lösungsverfahren durch Widerspruch recht schnell erkennen.
Die Lösungsgleichung des LGS ist ja (r²-r)*c = r - 1.
Sprich jede Lösung liegt auf dieser Gerade wobei r ein Parameter ist (sonst wärs ja auch eine Lösungparabel).
Wir können die Geradengleichung auch mal umschreiben:
r*(r-1)*c = r-1
(r-1)*c = 1-1/r
(r-1)*c + 1/r = 1
Es gibt jetzt nur ein r für welches diese Gleichung unabhängig von c ist, das ist genau dann der Fall wenn der Parameter vor c 0 wird, weil 0*c = 0 für alle c.
Das ist genau der Fall bei r = 1
Die Gleichung wird in diesem Fall zu:
0 + 1 = 1
das ist offensichtliche eine Wahre Aussage und damit hat das LGS eine Lösung und zudem ist diese Gleichung unabhängig von c wodurch sich eine einzige Gleichung Lösung ergibt.
Setzte in deinen Gleichungen für LGS einfach mal r = 1 ein:
I: a-b-c/3 = 1
II: 3b - c = 0
III: 3a - 3b + c = 3
Die Lösung dieses Gleichungssystems ist jetzt: a=1 b=0 und c=0 und zwar hat es nur diese eine eindeutige Lösung.
Setzen wir hingegen r = 0 ein so erhalten wir:
I:a-b = 1
II:3b = 0
III: 3a - 3b = 2
Wie wir sehen kann hier schon mal etwas nicht passen denn Gleichung III ist auf der linken Seite einfach Gleichung I*3.
Würde man aber Gleichung I * 3 rechnen steht auf der Rechten Seite 3 und nicht 2. Damit stehen diese beiden Gleichungen im Widerspruch und das LGS ist nicht lösbar.
einfach mal das LGS lösen und überall wo du durch r teilst, eine Fallunterscheidung mit r=0 und r ungleich 0 machen :-)
Und wenn du deine lösung abhängig von r hast, guckst du, für welche r die lösung überhaupt definiert ist :-)
Danke für die Antwort, allerdings habe ich noch eine Frage. Warum gibt es nur eine Lösung, wenn r=1 ist? Man könnte doch den Rest in Abhängigkeit von c machen und hätte: b=(r/3)*c ; und a=1. Oder sehe ich da etwas falsch?