Parallele Ebene zu einer Gerade aufstellen
Hallo,
wenn man eine Gerade parallel zu einer Ebene aufstellen möchte, muss man ja eigentlich (angenommen die Ebene befindet sich in der Parameterform) nur den Ortsvektor vervielfachen und eine Richtungsvektor von der Ebene nehmen. Geht das umgekehrt genauso? Also: Ich vervielfache den Ortsvektor und füge einfach einen neuen Richtungsvektor hinzu? Ist es dann egal, welche Zahlen ich für den neuen Richtungsvektor verwende?
MfG, Blackberryzh
4 Antworten
Mehrere Anmerkungen von mir. Dabei verwende ich große Buchstaben für Vektoren.
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Du hast eine Ebene E: X = A + rU + sV mit den Parametern r und s. Du möchtest eine Gerade haben, die parallel zu E ist. Dann ist die Lösung g: X = tA + rU richtig - unter der Bedingung, dass die Ebene nicht durch den Nullpunkt führt. Sonst liegt die Gerade in der Ebene.
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Umgekehrt: Du hast eine Gerade g: X = B + rU gegeben und möchtest eine Ebene konstruieren, die parallel zu g ist. Dies ist m.E. vom Ansatz her nicht möglich. Eine Gerade kann wohl parallel zu einer Ebene E sein, aber umgekehrt?
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Wann sind zwei Geraden / zwei Ebenen parallel zueinander bzw. eine Gerade parallel zu einer Ebene? Wenn sie überall den selben Abstand haben. Beispiel Gerade-Ebene: Du fällst von einem beliebigen Punkt der Geraden das Lot auf die Ebene; dann haben alle Lote dieselbe Länge. Wenn Du aber die Ebene als gegeben betrachtest und nun den Abstand beliebiger Punkte der Ebene von einer zu E parallelen Geraden betrachtest, sind diese Entfernungen durchaus unterschiedlich.
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Was Du also mit Deinem Verfahren bestimmt hast, ist eine Ebene E: X = tB + rU + sW, zu der die Gerade parallel ist. Auch hier wieder mit der Einschränkung, dass der Ursprung nicht auf der Geraden liegen darf, sonst liegt g in E.
Jaja, unser kleiner Gedankenaustausch zeigt mal wieder, wie wichtig es ist, Begrifflichkeiten klar zu definieren, damit man wirklich von den gleichen Bedingungen ausgeht. Sonst ist die Gefahr groß, aneinander vorbeizureden.
Ich bin (stillschweigend) davon ausgegangen, dass parallel bedeutet, dass kein gemeinsamer Punkt existiert. Dies ist i.A. der übliche Sprachgebrauch in der Schule. Aber wenn ein Abstand auch null sein darf (mathematisch kein Problem), dann sieht die Sache eben etwas anders aus. :-)
Der neue Richtungsvektor muss parallel zur Ebene sein, dh er muss eine Linearkombination der beiden Spannvektoren der Ebene sein.
also mE stimmt das erste, was du sagst schon gar nicht; also auch keine Umkehrung.
Das was du beschrieben hast, ist nicht "umgekehrt". Und nein, das geht nicht.
Sehr scharf beobachtet...
zu 1. Ich finde sogar , dass die Einschränkung nicht erforderlich ist. Wenn die Gerade in der Ebene liegt, ist sie (ohnehin auch) parallel zu ihr, denn jede Richtung im Raum ist zu sich selbst parallel. - Aber das ist eine Frage der genauen Definition von "parallel"; die mag verschieden gehandhabt werden.
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zu 2. Mit der Definition "Eine Gerade und eine Ebene sind genau dann parallel, wenn die Schnittmenge nicht einelementig ist" (die auch überall gleiche Lotlängen 0 erlaubt) finde ich durchaus, dass das möglich ist.
Jede zu g (im Sinne der Definition) parallele Ebene hat die Form
X = kB + rU + sV,
wobei k und V beliebig, aber fest sind. (Vorstellung: Alle Ebenen der Schar enthalten die Gerade kB + rU als "gemeinsame Achse".)
Ist B nicht der Nullvektor, k ≠ 1 und B,U,V nicht komplanar, so haben die Ebenen sogar überhaupt keinen Punkt mit g gemeinsam.