p+2 und p+4 sind Primzahlen?
Hallo, ich sollte beantworten und begründen, ob folgende Aussage wahr oder falsch ist.
”Es existiert genau eine Primzahl mit folgender Eigenschaft: p + 2 ist prim und p + 4 ist prim.”
Für mich gäbe es nur eine, p = 3.
Also wahr.
Jedoch kann man ja über die Verteilung der Primzahlen generell nichts sagen.
Könnte diese Aussage also falsch sein?
4 Antworten
Betrachte den Rest bei Division durch 3...
1. Fall: p hat Rest 0 bei Division durch 3. [Also: p ≡ 0 (mod 3)]
Dann ist p durch 3 teilbar. Da p außerdem eine Primzahl sein soll, folgt damit p = 3.
p = 3 und p + 2 = 5 und p + 4 = 7 sind Primzahlen, so dass p = 3 (als einzige Zahl in diesem Fall) die geforderten Eigenschaften hat.
2. Fall: p hat Rest 1 bei Division durch 3. [Also: p ≡ 1 (mod 3)]
p + 2 ≡ 1 + 2 ≡ 3 ≡ 0 (mod 3)
Dann hat p + 2 Rest 0 bei Division durch 3. Also ist p + 2 dann durch 3 teilbar. Da p + 2 außerdem eine Primzahl sein soll, folgt p + 2 = 3, und damit dann p = 1.
Da 1 jedoch keine Primzahl ist, gibt es in diesem Fall keine entsprechende Primzahl p mit den geforderten Eigenschaften.
3. Fall: p hat Rest 2 bei Division durch 3. [Also: p ≡ 2 (mod 3)]
p + 4 ≡ 2 + 4 ≡ 6 ≡ 0 (mod 3)
Dann hat p + 4 Rest 0 bei Division durch 3. Also ist p + 4 dann durch 3 teilbar. Da p + 4 außerdem eine Primzahl sein soll, folgt p + 4 = 3, und damit dann p + 2 = 1.
Da p + 2 = 1 dann jedoch keine Primzahl ist, gibt es in diesem Fall keine entsprechende Primzahl p mit den geforderten Eigenschaften.
[Ende der Fallunterscheidung]
Ergebnis:
p = 3 ist die einzige Primzahl mit den geforderten Eigenschaften. Die zu überprüfende Aussage ist wahr.
Aussage: p ist prim, p+2 und p+4 sind ebenfalls prim.
Die 3 ist die einzige Zahl auf die das zutrifft, da IMMER entweder p, p+2 oder p+4 durch 3 teilbar sind. LG
Entweder p oder p+1 oder p+2 (p element der natürlichen Zahlen) ist durch 3 teilbar. Ist logisch oder? 3 hat entweder den rest null, eins oder zwei. Wenn der Rest null ist, dann ist 3 ein teiler der Zahl. LG
Ich denke, Regina hat oben bei der Nachfrage die Antwort geliefert. Da es noch eine Primzahl mit der Eigenschaft gibt, ist die Aussage widerlegt und stimmt daher nicht.
Korrektur: 1 ist natürlich gar keine Primzahl, deswegen ist die Aussage noch nicht widerlegt.
Aber ... 1 ist doch keine Primzahl?
Eine Primzahl hat immer genau 2 Teiler, 1 und sich selbst, bei 1 fallen diese beiden zusammen, 1 hat also nur einen Teiler und ist demnach keine Primzahl.
Diese Eigenschaft ist nur erfüllt, wenn DREI aufeinanderfolgenden Primzahlen jeweils mit Differenz 2 gefunden werden. In der Primzahlen-Tabelle ist ersichtlich, dass es oft Doubletten gibt (2 aufeinderfolgenden Primzahlen) aber --mit Ausnahme der ersten Dekade-- nie 3. Das ist natürlich kein logischer Beweis, aber ein starker Hinweis.
Warum muss eine davon immer durch 3 teilbar sein?
Weil eine von p, p+1, p+2 durch 3 teilbar sein muss.
Und weil eine von p+2, p+3, p+4 durch 3 teilbar sein muss.
oder?