p+2 und p+4 sind Primzahlen?

Hallo, ich sollte beantworten und begründen, ob folgende Aussage wahr oder falsch ist.

”Es existiert genau eine Primzahl mit folgender Eigenschaft: p + 2 ist prim und p + 4 ist prim.”

Für mich gäbe es nur eine, p = 3.

Also wahr.

Jedoch kann man ja über die Verteilung der Primzahlen generell nichts sagen.

Könnte diese Aussage also falsch sein?

4 Antworten

Vom Fragesteller als hilfreich ausgezeichnet

mihisu

Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer

Mathematik

02.01.2022, 17:30

Betrachte den Rest bei Division durch 3...

1. Fall: p hat Rest 0 bei Division durch 3. [Also: p ≡ 0 (mod 3)]

Dann ist p durch 3 teilbar. Da p außerdem eine Primzahl sein soll, folgt damit p = 3.

p = 3 und p + 2 = 5 und p + 4 = 7 sind Primzahlen, so dass p = 3 (als einzige Zahl in diesem Fall) die geforderten Eigenschaften hat.

2. Fall: p hat Rest 1 bei Division durch 3. [Also: p ≡ 1 (mod 3)]

p + 2 ≡ 1 + 2 ≡ 3 ≡ 0 (mod 3)

Dann hat p + 2 Rest 0 bei Division durch 3. Also ist p + 2 dann durch 3 teilbar. Da p + 2 außerdem eine Primzahl sein soll, folgt p + 2 = 3, und damit dann p = 1.

Da 1 jedoch keine Primzahl ist, gibt es in diesem Fall keine entsprechende Primzahl p mit den geforderten Eigenschaften.

3. Fall: p hat Rest 2 bei Division durch 3. [Also: p ≡ 2 (mod 3)]

p + 4 ≡ 2 + 4 ≡ 6 ≡ 0 (mod 3)

Dann hat p + 4 Rest 0 bei Division durch 3. Also ist p + 4 dann durch 3 teilbar. Da p + 4 außerdem eine Primzahl sein soll, folgt p + 4 = 3, und damit dann p + 2 = 1.

Da p + 2 = 1 dann jedoch keine Primzahl ist, gibt es in diesem Fall keine entsprechende Primzahl p mit den geforderten Eigenschaften.

[Ende der Fallunterscheidung]

Ergebnis:

p = 3 ist die einzige Primzahl mit den geforderten Eigenschaften. Die zu überprüfende Aussage ist wahr.

LizenzfireArtZ

02.01.2022, 17:08

Aussage: p ist prim, p+2 und p+4 sind ebenfalls prim.

Die 3 ist die einzige Zahl auf die das zutrifft, da IMMER entweder p, p+2 oder p+4 durch 3 teilbar sind. LG

0saerdna0

Fragesteller

04.01.2022, 22:13

Warum muss eine davon immer durch 3 teilbar sein?
Weil eine von p, p+1, p+2 durch 3 teilbar sein muss.

Und weil eine von p+2, p+3, p+4 durch 3 teilbar sein muss.

oder?

LizenzfireArtZ

05.01.2022, 16:06

@0saerdna0

Entweder p oder p+1 oder p+2 (p element der natürlichen Zahlen) ist durch 3 teilbar. Ist logisch oder? 3 hat entweder den rest null, eins oder zwei. Wenn der Rest null ist, dann ist 3 ein teiler der Zahl. LG

markus632

02.01.2022, 17:08

Ich denke, Regina hat oben bei der Nachfrage die Antwort geliefert. Da es noch eine Primzahl mit der Eigenschaft gibt, ist die Aussage widerlegt und stimmt daher nicht.

Korrektur: 1 ist natürlich gar keine Primzahl, deswegen ist die Aussage noch nicht widerlegt.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Studium Mathematik Lehramt für die Sekundarstufen II/I

LizenzfireArtZ

02.01.2022, 17:08

Es gibt keine weitere. LG

(1 ist KEINE Primzahl!)

markus632

02.01.2022, 17:10

@LizenzfireArtZ

Stimmt! Da habe ich gerade nicht dran gedacht….

Regina3

02.01.2022, 17:13

@LizenzfireArtZ

Das war der Fehler ... Definition falsch gehabt ...

AllesIsi98

02.01.2022, 17:10

Aber ... 1 ist doch keine Primzahl?

Eine Primzahl hat immer genau 2 Teiler, 1 und sich selbst, bei 1 fallen diese beiden zusammen, 1 hat also nur einen Teiler und ist demnach keine Primzahl.

Regina3

02.01.2022, 17:13

@AllesIsi98

Genau.

RonaId

02.01.2022, 17:11

Nein. 1 ist keine Primzahl.

ulrich1919

Nutzer, der sehr aktiv auf gutefrage ist

im Thema Universität

02.01.2022, 17:21

Diese Eigenschaft ist nur erfüllt, wenn DREI aufeinanderfolgenden Primzahlen jeweils mit Differenz 2 gefunden werden. In der Primzahlen-Tabelle ist ersichtlich, dass es oft Doubletten gibt (2 aufeinderfolgenden Primzahlen) aber --mit Ausnahme der ersten Dekade-- nie 3. Das ist natürlich kein logischer Beweis, aber ein starker Hinweis.

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Ich habe diese Ungleichung auch bewiesen, aber ehrlich gesagt finde ich meinen Beweis sehr unschön, finde aber keine Verbesserung, auch wenn ich schon mehrere Stunden an der Aufgabe sitze. Mein Beweis per Induktion:

Indunktionsvoraussetzung mit n=1 ist klar. Induktionsannahme auch. Zum Induktionsschluss:

Sei p1,..,pn eine Abzählung der ersten n Primzahlen. Es gilt, dass p1p2..pn+1 einen Primteiler q hat, der noch nicht in dieser Abzählung vorkommt (das ist gerade der Beweis von Euklid zur Unendlichkeit). Da p1,..,pn die ersten n Primzahlen repräsentiert, folgt dass p(n+1) die kleine Primzahl ist, die ein Teiler von p1..pn+1 sein kann (insbesondere kann p1..pn+1 selbst prim sein).

Daraus folgt insgesamt p(n+1)<=p1..pn+1

Nun setze ich die Induktionsvoraussetzung ein und fasse zusammen:

p1..pn + 1 < exp(2^0)exp(2^1)...exp(2^(n-1)) + 1 =
exp(2^0 + 2^1 + ... + 2^(n-1)) +1

Nun erkennt man, dass im Exponenten gerade die geometrische Summe mit x=2 von k=0 bis n-1 steht. Diese Summe entspricht (1-2^n)/(1-2). Das lässt sich vereinfachen zu (2^n - 1 )

Insgesamt folgt bis hierhin:

p(n+1) < 1 + exp(2^n - 1)

Nun zu dem Schritt, der mir selbst absolut nicht gefällt.

Ich zeige, dass das weglassen der +1 vorne und der -1 in der e-Funktion sich so wegheben, dass die ungleichheit erhalten bleibt, also explizit zeige ich dass gilt:

1 + exp(2^n - 1) < exp(2^n) (womit ich fertig wäre)

Ich zeige das so:

1 + exp(2^n - 1) = 1 + exp(2^n)/e = 1/e * (e + exp(2^n))

Es folgt also :

1/e * (e + exp(2^n)) < exp(2^n)

Mit Äquivalenzumformung erhalte ich:

e + exp(2^n) < e * exp(2^n)

Da diese Aussage für n=1 gilt und die Ableitung der e-Funktion die e-Funktion selbst ist, also insbesondere die Ableitung monoton steigt, vergrößert sich der Abstand sogar für alle n>1.

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MfG

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    for (j=2 ;j<i ;j++ ) {
      if (i % j == 0) {
        primzahl = false;
      } // end of if
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    System.out.println (i);
  } // end of if
} // end of for

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public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        int limit = 100;
        int zahl;                   //überprüfen der zahl
        int counter= 2;
        boolean prim;           //Hilfsvariable ob die aktuelle zahl eine Primzahl ist

        for (zahl = 2; zahl <= limit; zahl++) {
            prim = true;
            while(counter < Math.sqrt(zahl) + 1) {
                counter++;

                if (zahl % counter == 0) {
                    prim = false;

                } else if (prim) {
                    System.out.println(zahl + " ");
                }
            }
        }
    }
}

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