Oberflächenformel eines Kegels nach r umstellen?

Hallo,

Wir haben heute im Matheunterricht eine halbe stunde lang mit unserer Lehrerin gerätselt, wie man die Oberflächenformel nach r umstellen kann.

Die Formel ist ja O=pi mal r hoch 2 + pi mal r mal s

(Sry, kein Platz, wie ich das anders schreiben soll...)

Answer 1

[mihisu]

Formel für die Oberfläche O eines Kegels in Abhängigkeit des Radius r und der Mantellinienlänge s:

$O=\pi\cdot r^2+\pi\cdot r\cdot s$

Das ist eine quadratische Gleichung bzgl. r. Subtraktion von O und vertauschen der Seiten der Gleichung liefert die folgende dazu äquivalente Gleichung:

$\pi\cdot r^2+\pi\cdot s\cdot r-O=0$

Benutzt man die quadratische Lösungsformel (auch als Mitternachtsformel bzw. abc-Formel bekannt), so erhält man:

$r=\frac{-\pi\cdot s\pm\sqrt{\left(\pi\cdot s\right)^2-4\cdot\pi\cdot\left(-O\right)}}{2\cdot\pi}$

Dies kann man noch zu

$r=-\frac{s}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{s}{2}\right)^2+\frac{O}{\pi}}$

vereinfachen. Bei dem "±" ist nur "+" möglich, da die andere Lösung negativ wäre, der Radius r jedoch positiv sein muss. Daher erhält man schließlich:

$r=-\frac{s}{2}+\sqrt{\left(\frac{s}{2}\right)^2+\frac{O}{\pi}}$

============

Alternativ könnte man statt Verwendung der quadratischen Lösungsformel auch manuell eine quadratische Ergänzung durchführen ...

$O=\pi\cdot r^2+\pi\cdot r\cdot s$

$\Leftrightarrow\ \ \pi\cdot r^2+\pi\cdot s\cdot r=O$

[Division durch π]

$\Leftrightarrow\ \ r^2+s\cdot r=\frac{O}{\pi}$

[Ergänze (s/2)², um auf der linken Seite danach die erste binomische Formel verwenden zu können]

$\Leftrightarrow\ \ r^2+s\cdot r+\left(\frac{s}{2}\right)^2=\frac{O}{\pi}+\left(\frac{s}{2}\right)^2$

$\Leftrightarrow\ \ \left(r+\frac{s}{2}\right)^2=\frac{O}{\pi}+\left(\frac{s}{2}\right)^2$

[Wurzelziehen]

$\Leftrightarrow\ \ r+\frac{s}{2}=\sqrt{\frac{O}{\pi}+\left(\frac{s}{2}\right)^2}$

[Subtraktion von s/2]

$\Leftrightarrow\ \ r=\sqrt{\frac{O}{\pi}+\left(\frac{s}{2}\right)^2}-\frac{s}{2}$

Answer 2

[Volens]

Es ist kein Kürzen, sonst wäre π nicht mehr zu sehen.
Man dividiert durch die Vorzahl von x², wenn man mit der p,q-Formel arbeiten möchte. Das nennt man: Normieren.

Wolltest du mit der abc-Formel (Mitternachtsformel) rechnen, könnte die Division unterbleiben. Aber in Deutschland wird meist die p,q-Formel verwendet. Habt ihr die andere gelernt?

Woher ich das weiß: eigene Erfahrung – Unterricht - ohne Schulbetrieb

Answer 3

[UlrichNagel]

Genau so, wie du seit der grundschule eine Gleichung umstellst. Ist doch immer wieder das Gleiche: gegenseite - Gegenrechnung! ==> Normaler Weise!

Hier hast du aber eine quadratische Gleichung vorliegen, die du mit der pq-Formel lösen musst: 0 = pir² + rspi - O und noch durch pi teilen.

Comments

[Silberseiten]

Aber wenn ich durch pi teile, dann verschwindet ja nur ein pi, also es würde ja dann 0= r"2 + rspi heißen, oder nicht?

[UlrichNagel]

@Silberseiten

Nein, es sind 3 Glieder: 0 = r² + rs - O/pi

Answer 4

[Destranix]

O=2*pi*r²+pi*s=pi*(2r²+s);|/pi

O/pi=2r²+s;|-s

O/pi - s = 2r²;|/s

O/2pi - s/2 = r²;|sqrt();

r=sqrt(O/2pi - s/2);

Comments

[UlrichNagel]

Du hast in der Ausgangsformel das r vom Mantel vergessen! Ist also falsch!

[Destranix]

@UlrichNagel

Stimmt, da müsste statt dem zweiten pi ein r stehen.

Müsste lauten:

O=2*pi*r²+r*s;

2*pi*r².s*r-O=0;

Dann Lösungsformel für Quadratische Gleichungen anwenden und positives Ergebniss wählen, falls mehrere vorhanden sind.

[UlrichNagel]

@Destranix

Nein im 2. Glied gehört das pi hinein, du hast als Mantel einen Kreissektor!

[Destranix]

@UlrichNagel

Ja, stimmt...Läuft trotzdem auf die Lösungsformel hinaus...

Answer 5

[Volens]

Hatten wir heute schon mit dem Volumen. Das geht ungefähr genauso.
Man muss nir umformen können:

https://www.gutefrage.net/frage/wie-berechne-ich-den-radius-eines-kegels-wenn-hoehe-und-volumen-abgegeben-sind

Woher ich das weiß: eigene Erfahrung – Unterricht - ohne Schulbetrieb

Comments

[Silberseiten]

Nope...ich möchte ja nach r umstellen bei der Oberflächenformel....bei der Lösung geht man von V aus. Ich habe nur s und O gegeben.

[Volens]

@Silberseiten

Natürlich ist es nicht ganz dasselbe. Aber die Technik ist genauso.
Ein bisschen musst du ja auch noch zu zun haben.

[Silberseiten]

@Volens

Wir rätseln da jetzt schon mindestens eine stunde dran, haben unterschiedliche Sachen ausprobiert. Die uns am logischsten erscheinende Lösung war folgende: O:(pi+pi mal s) = r hoch 2 mal r

Daraus haben wir dann die dritte Wurzel gezogen...hat aber nicht mit den Lösungen übereingestimmt...

[Volens]

@Silberseiten

Wenn ich mich nicht irre (und leider muss ich gleich weg) und du hast s und O, schreibe ich die Formel gleich schon seitenvertauscht:

π r² + π r s = O | /π
r² + s r = O/π
r² + sr - O/π = 0

s und O ist bekannt, π sowieso, also p,q-Formel

[Silberseiten]

@Volens

Ich verstehe zwar nicht so ganz, warum man pi dann beide male sozusagen wegkürzt, aber ich habs jetzt verstanden. Danke