Nullstellen von verschobener Sinusfunktion ohne TR berechnen? Wie soll das gehen?
Ich komm gerade echt nicht auf die Lösung.
Gegeben ist die Funktion f(x)=sin(3x)+1
Daraus berechne ich mir die Periodenlänge.
p=2pi/3
p=2/3 pi
die Funktion ist um 1 nach oben verschoben (d=1)
Wäre die Funktion nicht nach oben versetzt, wüsste ich dass die Nullstellen alle 1/3pi vorkommen würden -> Ns= k*1/3pi
Meine Nullstellen müssen jetzt aber bei k1/3+x* sein oder?
wie komme ich auf den Wert?
Mein Lösungsweg bis jetzt:
4 Antworten
Beachte, dass die Sinusfunktion nur Werte zwischen 1 und -1 annimmt. Insbesondere nimmt sin(3x) + 1 nur Werte zwischen 2 und 0 an. Daher sind die Nullstellen gerade die Minima der Funktion.
Für 2sin(3x) + 1 ist das noch so gerade möglich, denn die Lösungen für die Gleichung sin(z) = -1/2 kann man kennen. Im Allgemeinen wirst du dich mit Approximationen zufrieden geben müssen (oder die exakte arcsin-Schreibweise stehen lassen).
Ja, das ist eine Nullstelle. Beachte jedoch, dass es aufgrund der Symmetrie und der Periodizität noch weitere Nullstellen gibt.
Oh stimmt, wie kann ich weitere NS mathematisch ausdrücken?
k* [-arcsin(1/2)] / 3 oder? (ausgenommen ist 0)
Gesucht sind die Lösungen der Gleichung sin(3x) = -1/2.
- Du weißt, dass die Funktion f(x) = sin(3x) periodisch ist, nämlich mit Periode 2pi / 3. Ist also x eine Lösung der Gleichung, dann muss auch x + 2pi/3 * k eine Lösung der Gleichung sein für alle ganzen Zahlen k.
- Eine explizite Lösung hast du bereits ausgerechnet, nämlich bei x = -1/3 * arcsin(1/2). Der Einfachheithalber löse ich auf, dass das gerade -pi/18 sind.
- Beachte, dass innerhalb einer Periode zwei x existieren mit sin(3x) = -1/2. Wenn du etwa dein -pi/18 nimmst, kannst du es an der zur y-Achse parallelen Geraden durch das nächstbeste Minimum spiegeln und erhältst wieder ein passendes x. Das nächstbeste Minimum ist bei -pi/6. Spiegeln wir unsere Nullstelle daran, erhalten wir eine weitere Lösung:
x = -pi/6 - (-pi/18 - (-pi/6))) = -5pi/18. - Fasst man 1 und 3 zusammen, erhalten wir unendlich viele weitere Lösungen.
Habs glaub verstanden. Ich versuche es mal in eigenen Worten wieder zu geben.
x + 2pi/3 * k bedeutet.
Da ich eine Periode habe mit 2pi/3 weiß ich, dass sich mein Schaubild alle 2pi/3 wiederholt.
Durch die Lösung x1=-pi/18 weiß ich, dass die Funktion innerhalb einer Periode auf jeden Fall eine NS hat.
Von dieser NS aus gesehen habe ich eine weitere NS wenn ich genau eine Periodenlänge auf der X Achse nach links oder rechts wandere.
x2 wäre demnach: x2= x1+2pi/3
x3 wäre dann x3= x1+2pi/3 * 2
für k wäre dann jede ganze Zahl möglich
[-∞;∞]
Beim Standardsinus ohne Y-verschiebung wären das dann alle 2pi.
Die NS dazwischen ist bei dem Term x + 2pi/3 * k nicht berücksichtigt.
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Zu der anderen NS:
ich kenne x1 = -pi/18
Ich kenne das nächstgelegene Minimum mit x= -pi/6
(aus skizze abgelesen)
Abstand von Minimum zu x1 ist -pi/9
also ist der Abstand von x1 zur nächsten NS ( 2*-pi/9)
Damit habe ich eine Zweite Lösung x= 2*-pi/9+ (-pi/18)= -5pi/18
x=5pi/18
Diese Lösung lässt sich jetzt wieder auf
x+2pi/3 *k anwenden.
Stimmen meine Gedanken so?
Geilo ich glaub echt ich habs geblickt :D
Danke dir 100 mal. Sobald die Funktion erscheint für die hilfreichste Antwort markiere ich dich.
Zweiter Teil meiner Antwort: da fehlt das Minus vor 5pi/18
Jo, deine Gedanken stimmen soweit!
Wenn du willst, kannst du dir überlegen, warum das mit dem Spiegeln am Minimum überhaupt klappt (Stichwort Symmetrie), aber das ist eine andere Frage ;)
Wie meinst du das, warum das überhaupt klappt? Rechts und Links vom Maximum / Minimum verläuft die Funktion vertikal symmetrisch?
Genau. Ich wollte nur sicher gehen, dass du das verstehst; in meinem Kommentar hab ich nämlich nicht wirklich begründet, wieso man die zweite Nullstelle auf diese Art berechnen kann.
Die Nullstellen sind nicht die Minima (die haben alle den Wert -1), sondern jene Stellen (auf der x-Achse), an welchen der minimal mögliche Wert y=-1 angenommen wird.
ganz allgemein gilt:
wenn x0 eine Nullstelle von f(x) ist, so hat f(x-d) eine entsprechende Nullstelle bei x' =x0 + d. Da braucht man keinen Taschenrechner ;-)
Wenn die Funktion um 1 nach oben verschoben ist, so sind die "neuen" Nullstellen dort, wo die ursprüngliche Funktion den Funktionswert -1 hatte.
An welchen Stellen hat sin(x) den Wert -1?
An welchen Stellen hat sin(3x) den Wert -1?
Hab meine Skizze falsch angefertigt. Habe, warum auch immer, 2sin(3x)+1 gezeichnet.
Danke trotzdem für die Antwort.
Die Sinusunktion ist um 1 verschoben, und zwar nach oben. Stell dir das mal bildlich vor oder mal es dir auf.
Was sind jetzt die Schnittpunkte mit der x-Achse?
Hab ich mir Skizziert.. aber mit der Amplitude 2.
Ich Depp xD
2sin(3x)+1.
-.- XD
Na dann passt es ja. Mit der Amplitude 2 würde es nicht mehr so einfach funktionieren. ;)
Gibt es da eine Möglichkeit das händisch zu rechnen wenn a=2 wäre? Oder wäre das ein riesen Aufwand?
Danke dir aber trotzdem für deine Antwort.
Möglich ist es, aber nur näherungsweise.
2sin(3x) + 1 ⇔ x = 1/3 sin⁻¹(-1/2)
Händisch war's das aber - Näherungswerte kannst du bekommen, indem du graphisch abliest oder zufällig Funktionswerte für den Arkussinus vorliegen hast.
Okay, kann ich nachvollziehen. Wieder was geblickt, Danke!
Eine Sache noch.. wie schreibst du die Hochzahlen mit der Tastatur?
Die musst du dir irgendwo rauskopieren, das ist Unicode.
Ahhhhh ich Idiot.... meine Skizze die ich angefertigt habe würde der Funktion f(x)= 2sin(3x)+1 entsprechen...
Dann ist es ja einfach, wenn die Minima die NS sind entsprechen die NS der Periodenlänge.
Angenommen meine Funktion wäre 2sin(3x)+1.
Kann man das dann händisch überhaupt noch rechnen`?