Nullstellen bestimmen - Wo ist mein Fehler?
Also die Anfangsfrage war:
Durch f (t)=20t⋅ e^(−0,5t)
wird die Konzentration eines Medikaments im Blut eines Patienten
beschrieben. Dabei wird t in Stunden seit der Einnahme und f(t) in mg/ l gemessen.
Vier Stunden nach der ersten Einnahme wird das Medikament in der gleichen Dosierungerneut eingenommen. Es wird angenommen, dass sich dabei die Konzentrationen im Blutaddieren. Die Konzentration des Medikaments im Blut darf 20 mg/l nicht übersteigen. Wirddiese Vorgabe in diesem Fall eingehalten?
Ich habe dann abgeleitet und habe raus
20e^(-0,5t) - 20e^(-0,5t - 2) - 10te^(-0,5t - 2) - 10te^(-0,5t)
Mit Onlineableitungsrechnern kommt dasselbe raus.
Aber wenn ich die Nullstellen bestimmen will, habe ich etwas anderes raus.
Ich habe 2 raus, online kommt 1,52 raus.
Ich habe ausgeklammert:
e^(-0,5t)⋅ (20 - 10t) + e^(-0,5t - 2)⋅ (20 - 10t)
Und dann denke ich, dass ich einfach für t 2 einsetzen und es kommt bei beiden Multiplikationen 0 raus. Jedenfalls glaube ich das... Wo ist jetzt mein Fehler?
5 Antworten
Erst einmal habe ich keine Ahnung, wie du auf
20e^(-0,5t) - 20e^(-0,5t - 2) - 10te^(-0,5t - 2) - 10te^(-0,5t)
kommst. Das ist jedenfalls weder die Ableitung von f(t), noch die Ableitung von f(t)+f(t-4).
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Dann hast du gemeint, du hättest ausgeklammert. Wenn man aber e^(-0.5t) bzw. e^(-0,5t - 2) ausklammert erhält man
e^(-0,5t) * (20-10t) - e^(-0,5t - 2) * (-20 - 10t)
statt
e^(-0,5t) * (20-10t) - e^(-0,5t - 2) * (20 - 10t).
Davon kann ich nur die obere Hälfte (Vorschau?) sehen, wie kriege ich das ganze Dokument?
Sorry, aber ich weiß nicht genau, wo das Problem liegt. Wenn ein Fenster auftaucht, dass dir anbietet einen Dropbox-Account zu erstellen, wie hier zu sehen ...
https://images.gutefrage.net/media/fragen-antworten/bilder/268647777/0\_original.png
... Das kannst du einfach wegklicken.
[Edit: Im Bild habe ich den unteren roten Pfeil versehentlich zu weit oben eingezeichnet. Du brauchst dir keinen Account zu erstellen.]
Ansonsten habe ich dir das Dokument nochmal als Bild angehängt. Dazu kannst du dir meine zweite Antwort ansehen bzw. dieses Bild:
https://images.gutefrage.net/media/fragen-antworten/bilder/268647777/1\_original.png
Problem war mein Adblocker NoScript, der das notwendige Java-Script deaktiviert hatte. Hätte ich auch selbst drauf kommen können.
Trotzdem schön zu sehen, dass die Lösung mit meiner übereinstimmt ;-)
Dies sind die Bilder zu meinem Kommentar:
Siehst du so ein Fenster? Das kannst du einfach schließen. (Siehe: rote Pfeile)
Ansonsten ist hier das Dokement nochmal als Bilddateien:
[Im ersten Bild habe ich den unteren roten Pfeil versehentlich zu weit oben eingezeichnet. Du brauchst dir keinen Account zu erstellen.]
ich habe t=2 raus.
Genau genommen wäre es für die Aufgabenstellung ausreichend zu zeigen:
Erste Einnahme:
f(x) = 20 t e^(-0.5 t)
Zweite Einnahme (4 h nach rechts verschoben):
g(x) = 20 (t-4) e^(-0.5 (t-4))
Insgesamt:
h(t) = f(t)+g(t)
h(5) = 20.34 > 20
Antwort: Die Vorgabe wird nicht eingehalten
Dann spart man sich den Schnickschnack mit der Extrempunktbestimmung, denn danach ist gar nicht gefragt.
Erste Einnahme:
f(x) = 20 t e^(-0.5 t)
f'(x) = e^(-0.5 t) ( 20 - 10 t)
Zweite Einnahme (4 h nach rechts verschoben):
g(x) = 20 (t-4) e^(-0.5 (t-4))
g'(x) = e^(-0.5 (t-4)) ( 20 - 10 (t-4))
Insgesamt:
h(t) = f(t)+g(t)
h'(t) = f'(t) + g'(t)
= e^(-0.5 t) ( 20 - 10 t) + e^(-0.5 (t-4)) ( 20 - 10 (t-4))
= e^(-0.5 t) ( 20 - 10 t) + e^(-0.5 t + 2)) ( 20 - 10 (t-4))
= e^(-0.5 t) ( 20 - 10 t) + e^(-0.5 t ) e^2 ( 20 - 10 t + 40 )
=e^(-0,5 t)( (20 - 10 t) + ((20 - 10 t + 40 ) e^2)
=e^(-0,5 t) (20 - 10 t + 60 e^2 - 10 t e^2)
=e^(-0,5 t) (20 - 10 t + 60 e^2 - 10 t e^2)
___
(20 - 10 t + 60 e^2 - 10 t e^2) = 0
-10 t (1 + e^2) = - 20 - 60 e^2
t = (2 + 6 e^2)/(1 + e^2) = 5,52
___
5,52 h nach der ersten Einnahme ist das Maximum erreicht. Die Konzentration beträgt dann 21,2 mg/l, d.h. sie ist zu hoch.
PS: Die obige Umformung ist m.E. extrem fehleranfällig. Das ist eher ein Fall für den GTR oder GeoGebra.
Hier übrigens ein Lösungsvorschlag zur Aufgabe:
https://www.dropbox.com/s/5bhs3tzqi6g95ua/AufgabeMedikament.pdf?dl=0