Nullstellen von f(x)=5x^2 +10x+k?
Hey,
also ich hab die Funktion f(x)=5x^2 +10x+k und nun soll ich bestimmen für welche k die Funktion 2 Ns hat. Kann mir bitte jemand helfen?
4 Antworten
Hallo Marry,
angenommen, k hätte einen bestimmten Wert, zum Beispiel k=5 und somit
f(x)=5x^2 +10x+5
Wüsstest du dann, wie man die Nullstellen bestimmt und wie man herausfindet, wie viele es sind?
Genau, super! Nun tu so, als wäre k eine Zahl. Für die Mitternachtsformel setze also c=k. Wie sieht dann deine Mitternachtsformel aus?
Ganz genau! Nun, wenn du sie dir anschaust: Was muss gelten, damit es zwei Lösungen gibt? Tipp: Stichwort Diskriminante.
Ahh.. Die Diskriminate muss positiv also größer als Null sein.
Richtig! Kannst du daraus eine Ungleichung für k hinschreiben?
Genau, richtig! Nun musst du nur noch diese Ungleichung lösen. Versuchst du es?
edit: In deinem letzten Kommentar ist ein Quadrat bei 10^2 verloren gegangen.
Du hast beim Aufschreiben der Diskriminante ein Quadrat verloren (siehe Edit in meinem vorherigen Kommentar), magst du das noch korrigieren? Dann kriegst du auch ein anderes Ergebnis heraus. ;)
Jetzt bin ich schon fast einverstanden. Du musst allerdings mit dem "größer" bzw. "kleiner"-Zeichen aufpassen. Du darfst es nicht umdrehen, es sei denn, du teilst die Gleichung durch eine negative Zahl oder multiplizierst sie mit einer negativen Zahl - in diesem Fall musst du das Zeichen umdrehen. Irgendwo in deiner Rechnung ist noch ein Wurm drin, richtig sollte es k<5 heißen.
Ja, ich merk's! Aber ich habe es jetzt verstanden. Bei allen Werten unter 5 hat die Funktion also 2 Ns.
Vielen Dank dafür! :)
Ok, super! Bitte sehr, freut mich, dass ich helfen konnte! :)
Deine Schreibweise ist falsch
richtig ist
fk(x)=5*x²+10*x+k hat die Form y=f(x)=a2*x²+a1*x+ao dividiert duch 5
fk(x)=x²+2*x+k/5 hat die normalform 0=x²+p*x+q nullstellen mit der p-q-Formel
x1,2=-p/2 +/- Wurzel((p/2)²-q)
p=10 und q=k/5
x1,2=-(10)/2+/- Wurzel((10/2)²-k/5)
x1,2=-5 +/- Wurzel(25-k/5)
Fallunterscheidung
1) der Radikant (25-k/5)>0 ergibt 2 reelle Nullstellen
2) der Radikant (25-k/5)=0 ergibt 1 doppelte Nullstelle bei x=-5
3) der Radikant (25-k/5)<0 ergibt 2 konjugiert komplexe Lösungen
z1=-5+i ... hier ist i=imaginäre Einheit siehe Mathe-Formelbuch komplexe Zahlen
z2=-5 - i ....
Fall 1 0=25-k/5 ergibt k/5=25 ergibt k=25*5=125
also,für k<125 ist (25-k/5)>0 also 2 reelle Nullstellen
Hinweis:Siehe Mathe-Formelbuch,quadratische Gleichung,und die Lösbarkeitsregeln
Für 2 NS gibt es sehr viele k! Du brauchst nur die Doppelnulstelle bestimmen (S uaf x-Achse) mit Wurzel 0! Also
x² +5x + 1/5k und damit W(0) = 25/4 - 1/5k=0 =125/20 - 4/20 und k=31,25, für größere -Wurzel hast du keine und darunter hast du immer 2 Nullstellen!
Bist du sicher, dass da wirklich steht f(k)=...
und nicht f(x)=... ?
f(k) oder f(x) das ist ein großer Unterschied!
Das dachte ich mir schon, denn mit f(k) macht die Aufgabe keinen Sinn ;-)
Also zunächst ganz normale Nullstellenberechnung mit der pq-Formel oder Mitternachtsformel und das k behandelst du so, als wäre es eine Zahl.
Wenn du die Nullstellen errechnet hast in Abhängigkeit von k, dann musst du dir nur noch überlegen, für welche Werte 2 Lösungen rauskommen.
Tipp: Der Wert unter der Wurzel darf nicht 0 ergeben.
Ja, man setzt die Funktion gleich Null. Dann benutzt man die Mitternachtsformel