Nicht ganzrationale Funktionen?

Hallo,

Bin gerade auf eine Aufgabe gestoßen, bei der ich keine Ahnung habe, ob man die Zahl potenzieren kann. Im Anhang die Rechnung.

Danke

Nico

Answer 1

[nobytree2]

$x^{\frac{3}{2}}=\left(\sqrt{x}\right)^3=-2$ Und die ungerade Wurzel aus negativen Zahlen ist nach häufiger Auffassung nicht definiert. Man könnte dennoch das hier behaupten:

$\sqrt{x}=-\left(^3\sqrt{2}\right)$ Doch gewonnen ist mit dieser Auffassung hier rein gar nichts. Denn jetzt nicht den Fehler machen

$x=\left(-^3\sqrt{2}\right)^2\approx1,587$

Denn ein gerader Wert hoch irgendetwas plus 2 ergibt nicht 0.

Wenn jetzt aber so vorgeht

$x^{\frac{3}{2}}=\sqrt{x^3}=-2$ sieht man das Problem direkt: aus einer Wurzel kommt kein negativer Wert.

Demnach gibt es KEINE Lösung.

Comments

[NIKOLAUSose]

Wieso kann man das nicht mit 2/3 potenzieren

[nobytree2]

@NIKOLAUSose

Gebrochene Potenzen sind eine Komposition aus Wurzel und Potenz mit ganzer Zahl. Für beides gelten eigene Anwendungsregeln. So kann man keine Wurzel aus negativen Zahlen ziehen. Das ist bei geraden Wurzeln recht einsichtlich, bei ungeraden wird es häufig mühsam, korrekt fortzusetzen.

Dann haben wir negative Zahl hoch 2. Damit verschwindet das Minuszeichen, obwohl es in der Gleichung auftaucht. Im Zweifel ist der resultierende Wert keine Lösung der Gleichung mehr.

Beispiel

Wurzel(x) = -4

Jetzt alles hoch 2

x = 16 ?

Falsch: Wurzel(16) = 4, nicht -4. Hoch 2 ist nicht injektiv, damit kann die Gleichung unwahr werden.

[NIKOLAUSose]

@nobytree2

Super erklärt danke schön

Answer 2

[Rubezahl2000]

$x^{\frac{3}{2}}\ =\ -2\ \ \ \ \mid\left(\right)^{^{\frac{´2}{3}}}$ $x\ =\ \sqrt{\left(-2\right)^3}$ $x\ =\ \sqrt{-8}$

Im Bereich der reellen Zahlen sind Wurzeln aus negativen Zahlen nicht definiert, also nicht lösbar.
Nur im Bereich der komplexen Zahlen ist das lösbar.

Comments

[nobytree2]

Da ist ein Fehler in der zweiten Zeile

Wenn dann x = 3 Wurzel aus (-2) ²

Und auch im Bereich der komplexen Zahlen gibt es hier keine Lösung

Und bitte nicht einfach hoch 2/3 - das sind zwei Operationen, die ihre Anwendungsvoraussetzungen haben - das darfst Du nicht einfach überspringen ...

[Rubezahl2000]

@nobytree2

Stimmt. Danke für den Hinweis.