Mieterin hat im Bad das Licht brennen gelassen. Darf Mieter während ihrer Abwesenheit obige Etage betreten, um das Licht im Badezimmer auszuschalten?

Die gemieteten Räume darf in der Regel nur der Mieter oder die Personen betreten denen der Mieter eine Erlaubnis erteilt hat.

Ohne Zustimmung die Räumlichkeiten zu betreten ist Hausfriedensbruch.

Ach ja, der Vermieter darf ohne Zustimmung des Mieters auch keine Schlüssel zu der Wohnung des Mieters haben.

Von der nicht ausgeschalteten Beleuchtung geht keine Gefahr aus. Deshalb ist ein Eingreifen des Vermieters nicht erforderlich und rein rechtlich unzulässig. Wieso hat der Vermieter einen Schlüssel zur Wohnung? War das so vereinbart?

Nein nur mit der Erlaubnis. 

Ohne Erlaubnis der Mieterin darf niemand die Wohnung betreten, PUNKT

Du meinst wahrscheinlich, ob der Vermieter die Wohnung betreten darf, um das Licht im Bad auszuschalten. Nein, darf er nicht. Kann immer mal passieren, das man irgendwo eine Lampe vergisst, auszuschalten. Kein Grund, deswegen dort einzugreifen.