Menge M (innere Punkte, Rand- und Häufungspunkte)?
Hallo,
ich habe diese folgende Menge
man soll hier die inneren Punkte sowie Rand- und Häufungspunkte bestimmen.
Kann mir jemand das zeigen?
Lg
1 Antwort
Wenn x eine offene Umgebung um x hat, die ganz in M liegt, so ist x ein innerer Punkt von M
Wenn Jede offene Umgebung von x sowohl Punkte in M als auch Punkte außerhalb von M enthält, so ist x ein Randpunkt.
Wenn jede offene Umgebung um x mindestens ein Element aus M enthält (welches nicht x ist), so ist M ein häufungspunkt.
Überlege dir, wo das hier jeweils der Fall ist (eine Skizze der Menge könnte hilfreich sein)
M ist eine Menge, also kann es kein Punkt sein. Es gibt Punkte die außerhalb von M ein, z.b der Punkt (0,1) ist nicht in M, da die Norm von dem Punkt gleich 1 ist.
Du musst beachten dass du im R^2 bist, somit sind offene Umgebungen stattdessen musst du die Epsilon Bälle um x betrachten.
habe ich jetzt heraus:
da ||x|| echt kleiner 1 ist können innere Punkte folgen. Da es immer für jeden Punkt a - ϵ , a + ϵ ein Epsilon gibt das noch in der Menge enthalten ist. Randpunkte kann es nicht geben, da x kleiner 1 ist und somit es kein Epsilon gibt was in der Menge und außerhalb der Menge gibt also knapp aus der Menge gibt. Außerdem meine ich das es keine Häufungspunkte gibt, da nach der Definition bedeutet es das es unendlich viele Punkte der Menge in der Nähe hat und dies kann es ja nicht geben da es kleiner 1 ist. Wäre es größer 1 dann wäre es möglich.
Keine Ahnung ob das stimmt...
Deine Begründung ist falsch, die Menge hat einen Rand und Häufunfungspunkte, deine Begründung für die inneren Punkte ist falsch, da du nicht mit Intervallen arbeiten darfst, da du im R^2 bist, stattdessen musst du mit Epsilon Bällen arbeiten.
Wie gesagt, zeichne die Menge mal.
Außerdem müsstest du auch sagen welche Norm hier genommen wird, ist es die Euklidische Norm?
Ich habe die Menge gezeichnet. wenn ich annehme das die Menge ein kreis ist was als Radius 1 hat dann komme ich auf mein Ergebnis. Das alles sich nur in diesem Kreis befinden kann
Also ist hat doch die Umgebung x - ϵ, x + ϵ und Punkte außerhalb M geht ja nicht oder weil x < 1 ist. Und M ist ein Häufungspunkt