Abschluss, Rand und Inneres des Einheitskreises?
Hi, vielleicht kennt ihr ja das Bild des Einheitskreises bzgl der euklidischen Norm, dargestellt durch x^2+y^2=1. Kann mir jmd verraten, was der Abschluss, das Innere und der Rand dieser Menge ist?
1 Antwort
Hallo,
das Innere des Einheitskreises sind alle Punkte (x|y) für die gilt x² + y² < 1 .
Der Abschluss dieser Menge sind alle Punkte (x|y) mit x² + y² ≦ 1 .
Der Rand der Menge ist der Abschluss ohne die inneren Punkte, also
alle Punkte (x|y) für die gilt x² + y² = 1 .
Gruß
Nun, der Einheitskreis ist eine geschlossene Kurve, definiert durch die Gleichung x² + y² = 1 . Bezüglich dieser Kurve gibt es im ℝ² Punkte, die innerhalb des Kreises liegen, und Punkte die außerhalb liegen.
Die Schwierigkeit liegt vielleicht darin, dass der Begriff "innerer Punkt" sowohl eine topologische Bezeichnung als auch eine Lagebezeichnung ist.
Der Kreis als geschlossene Kurve x² + y² = 1 besitzt innere und äußere Punkte.
Die inneren Punkte (Lagebezeichnung) sind die Punkte x² + y² < 1 .
Die inneren Punkte (topologisch gesehen) der Kreisscheibe (x² + y² ≦ 1) stimmen mit den Punkten, die innerhalb des Einheitskreises liegen, überein.
Man könnte nun "Haarspalterei" betreiben und den Einheitskreis als eigenständigen topologischen Raum betrachten, dessen Topologie von der des ℝ² induziert ist. Dann hätte "innerer Punkt" , topologisch geseshen, eine andere Bedeutung.
Ich weiß nun nicht, welche Mathematik du betreibst. Schule oder Uni ?
Danke dir, habe ich jetzt verstanden :) Ich betreibe Uni-Mathematik und deine Antwort ist daher keine Haarspalterei, sondern eine nützliche Spezifizierung der Details!
Zur Kontrolle noch eine andere Frage, ich sollte die gleiche Aufgabe auch bzgl der Maximumsnorm lösen. Bzgl der Maximumsnorm ist der Kreis ja ein Quadrat mit Mittelpunkt (0,0). Meine Lösungen sind:
Inneres = {(x,y) in R^2 | max{|x|,|y|}<1}
Abschluss = {(x,y) in R^2 | max{|x|,|y|}<=1}
Rand = Anschluss \ Inneres = Inneres = {(x,y) in R^2 | max{|x|,|y|}=1}
Ich betreibe Uni-Mathematik
Ok, dann brauchte ich mich nicht zu sorgen, in solche Details zu gehen, und es freut mich, wenn ich etwas zum Verständnis beitragen kann. :)
|| . ||max : ja, ist richtig.
In der letzten Zeile hat sich ein Fehler eingeschlichen:
Rand = Anschluss \ Inneres = Inneres
Rand = Abschluss minus Inneres, aber das meintest du sicher auch.
Ja klaro meinte ich Abschluss :) Hoffentlich ist mir noch eine letzte Frage gestattet, wenn nicht, antworte einfach nicht mehr :p
Es steht noch zur Debatte, warum die beiden Normen die gleichen offenen Mengen definieren. Wahrscheinlich gucke ich wieder aus einem falschen Blickwinkel, aber die beiden offenen Mengen sind doch unterschiedlich oder? Einmal haben wir einen Kreis ohne Rand und das andere Mal ein Quadrat ohne Rand, wieso sind die gleich?
Eine offene Menge A ⊂ X eines metrischen Raumes X ist z.B. dadurch charakterisiert, dass es zu jedem a ∈ A eine offene ε-Umgebung gibt, die a enthält und ganz in A liegt.
Wenn U(ε) eine ε-Umgebung von a der ersten Norm ist (euklidische Norm), dann gibt es ein ε' > 0 so dass das offene ε'-Quadrat ganz in der U(ε) Umgebung enthalten ist.
Und umgekehrt geht das genauso: zu jedem offenen ε-Quadrat gibt es eine offene ε'-Scheibe, die im Quadrat enthalten ist. Deshalb stimmen die offenen Mengen überein.
P.S.
Ja klaro meinte ich A bschluss :)
Das meinte ich nicht, da bin ich von einem Tippfehler ausgegangen.
Ich meinte, dass Abschluss minus Inneres nicht gleich Inneres ist:
Rand = Anschluss \ Inneres = Inneres = {(x,y) in R^2 | max{|x|,|y|}=1}
Aber auch das meintest du sicher nicht. ;-)
Ah jetzt check ich das, der Beweis läuft nach dem Prinzip: A ist Teilmenge von B und B ist Teilmenge von A => A=B
Alles klar, dann wäre alles geklärt, wirklich vielen Dank :)
Der Fehler:,, Rand = Anschluss \ Inneres = Inneres" kommt von Copy and paste
Ich hoffe, ich darf dir noch eine Frage stellen :) Die Menge x^2+y^2<1 ist doch gar nicht Teil der Menge x^2+y^2=1. Wir betrachten ja eigentlich nur eine ,,Gerade'' der Länge 2pi, die man um (0,0) gerollt hat. Kann/Muss man dann trotzdem die offene Menge x^2+y^2<1 als größte offene Menge nehmen?