Matherätsel Gleichseitiges Dreieck?
Ein Bauer stirbt. Er vererbt sein Land an seine Frau und seine beiden Kinder. Die Frau soll viermal soviel Fläche Land bekommen wie jedes der Kinder. Das Grundstück hat kurioserweise exakt die Form eines gleichseitigen Dreiecks. Aus Gerechtigkeitsgründen soll jedes der drei Teilstücke die gleiche Form haben. (Das Teilstück der Frau soll also um den Faktor zwei vergrößert sein, aber ansonsten dieselbe Form haben wie das Stück eines jeden Kindes.) Wie wird das Land geteilt?
7 Antworten
Der Ansatz von Friedemann sieht sehr gut aus und passt genau zu meiner vorherigen Annahme, dass die Flächen aus kleinen gleichseitigen Dreiecken zusammengesetzt sein müssen. Vielen Dank!
Prüft man die notwendigen Längenverhältnisse der Seiten der Figuren, dann ergibt sich für das Überschneidungsdreieck in der Kinderfläche eine Seitenlänge von 1/12 der Seite des Gesamt-Grundstücks.
Es reicht also nicht, die Seiten in Sechstel zu teilen, wie im meinem früheren Bild, sondern es werden Zwölftel benötigt. Hierdurch entstehen 144 kleine Dreiecke, die sich im Verhältnis 1:1:4 in 24:24:96 Dreiecke aufteilen.
Mit Friedemanns Aufteilungsplan ergibt sich so das beigefügte Bild als Lösung (sofern die kleinen Kinderflächen spiegelverkehrt zur Mutterfläche sein dürfen).
Diese Problemstellung war interessant und die gemeinsame Grübelei über Tage hinweg hat mir Spass gemacht!
Hallo MusiToo,
das finde ich ja klasse, dass sich tatsächlich noch jemand daran gemacht hat, meine Lösung zu vervollständigen!
Super gemacht. Mein Kompliment!
Gruß Friedemann
Ich denke, wir benötigen 6 gleiche Teile, von denen die Kinder je 1 Teil bekommen und die Mutter 4 Teile.
Mittelsenkrechte auf jede Seite -> schneiden sich in einem Punkt -> 6 gleichgroße Stücke
Hallo Thomas11111,
das erste Problem mit UncelBens Dreieck: Es ist nicht gleichseitig, sondern gleichschenklig-rechtwinklig.
Trotzdem glaube ich, dass das die eigentliche Lösung des Problems ist, das gleichseitige Dreieck in vier gleiche Teile zu teilen. Meine Lösung 1.
Da gibt es dann allerdings noch ein Problem mit Deiner Aufgabenstellung: Zuerst schreibst Du die Frau soll viermal soviel Land bekommen wie jedes der Kinder. Das würde bedeuten, man müsste das Dreieck in sechs Teile aufteilen, von denen dann vier zusammengenommen dieselbe Form haben, wie die beiden übrig gebliebenen.
Das Dreick in drei formgleiche und gleichgroße Dreicke zu teilen ist
möglich (meine Lösung 2), allerdings sehe ich bisher nicht die Möglichkeit, diese erneut so zu teilen, dass aus vier davon wiederum die gleiche Form entsteht, wie die beiden Reststücke.
Am Ende schreibst Du allerdings, das Teilstück der Frau soll um den Faktor zwei vergrößert sein. Damit wären wir dann doch wieder bei vier Teilen.
Gruß Friedemann
Vermutlich geht es um die 4fache Fläche; lediglich die Seitenlängen des Mutter-Dreiecks sollen wohl gegenüber den Kinder-Dreiecken verdoppelt sein...
Hallo Thomas11111,
nochmal ein neuer Versuch. Das ist noch nicht wirklich berechnet, so dass die Verhältnisse 4:1:1 möglicherweise nicht exakt sind. Aber so müsste es doch gehen, oder? Vielleicht hat ja jemand anderes noch Zeit und Lust, sich an die exakte Berechnung zu machen!
Gruß Friedemann
Nach vielem Hin- und Herrechnen mit diversen Dreiecksformen innerhalb der Ursprungsfläche, kann die Lösung m.E. nur auf zusammengesetzten gleichseitigen Dreiecken beruhen.
Teilt man die Seiten eines gleichseitigen Dreiecks auf, dann nimmt die Zahl der kleinen Dreiecke quadratisch zu. Ohne Teilung = 1 Dreieck, Seite durch 2 = 4 Dreiecke, Seite durch 3 = 9 Dreiecke, ...
Wir suchen nach einer Flächenteilung 1:1:4, benötigen also eine Dreiecksanzahl, die durch 6 teilbar ist. Die kleinste, die hier geht, ist 36 (bei Teilung der Seiten durch 6).
Bild anbei - jetzt muss (hoffentlich) nur noch eine Lösung gefunden werden, wie die kleinen Dreiecke im Verhältnis 6:6:24 zusammengefügt werden und dann auch noch formgleich sind.
Freue mich über eure Ideen...
