Wie berechnet man die Seite a (gleichseitiges Dreieck) mit dem Satz des Pythagoras, wenn man nur A gegeben hat?

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3 Antworten

Du hast 2 Unbekannte: Seitenlänge a und Höhe h.
Du kannst 2 Gleichungen aufstellen:
1.) Flächenformel: 84,6=a•h•1/2
2.) Pythagoras im "halben" rechtwinkligen Dreieck, mit der Höhe h als eine Kathete und a/2 als andere Kathete und a als Hypotenuse : h²+(a/2)²=a²
(Da das Dreieck gleichseitig ist, halbiert die Höhe genau die eine Dreieckseite, deshalb a/2 als Kathete)

2 Gleichungen, 2 Unbekannte, weiter schaffst du's allein ;-)

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Zeichne mal die Höhe h ein, dann erhälst du ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse a und den Katheten h und a/2. Über dieses Dreick erhälst du ein Beziehung zwischen a und h (Satz des Pythagoras). Wenn du diese Beziehung in die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks einsetzt, musst du nur noch ein bisschen umformen um die Aufgabe zu lösen.

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Kommentar von xnggx04
14.10.2016, 14:35

ja, aber für die umformung müsste ich ja wenigstens a oder h gegeben haben(?)oder nicht?

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Kommentar von xnggx04
14.10.2016, 14:38

weil das wäre ja dann 2A:h=a

h habe ich aber nicht gegeben und weiß auch nicht wie ich mit dem flächeninhalt auf a oder h kommen soll :(

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Kommentar von Myrine
14.10.2016, 14:45

Also, noch mal anders...

Flächeninhalt eines Dreicks: A = 1/2*a*h

A hast du gegeben, bleiben noch h und a. Weil dir beide unbekannt sind, brauchst du eine mathematische Beziehung zwischen den beiden. Und da kommt der Satz des Pythagors ins Spiel.

Zeichne ein gleichseitiges Dreieck und zeichne eine Höhe h ein. Dann sollte dir, wie schon gesagt, ein rechtwinkliges Dreieck ins Auge springen (Hypotenuse a, Katheten h und a/2). Stell für dieses Dreieck den Satz des Pythagoras auf und löse die Gleichung nach h oder a auf.

Jetzt kannst du h oder a in der Gleichung für den Flächeninhalt ersetzen und erhälst eine Gleichung mit V und a oder V und h, die du entsprechend nach a oder h umstellen kannst.

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Du kannst die Höhe mit dem Sinus berechnen. Beim gleichseitigen Dreieck ist die Höhe sin (60°) = sqrt(3) / 2 * Seitenlänge

Jetzt hast du nur noch eine Variable bei der Berechnung der Fläche:

a * sqrt(3)/2 * a = 2*A


Oder mit dem Satz des Pythagoras:

a² = h² + (a/2)²

-> h = sqrt(a² - (a/2)²) = sqrt (a² - a²/4) = sqrt (a² * (1- 1/4))

 = a * sqrt (3/4) = a* sqrt(3)/2

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