Matheaufgabe: Gedrehten Punkt berechnen, geht das?
gegeben ist ein punkt A in einem koordinatensystem. die koordinaten sind x = 2 und y = 6. dieser punkt soll über den nullpunkt um 45° nach rechts verlaufend gedreht werden (punkt b). ist es dann möglich, die koordinaten des verschobenen punktes zu errechnen? wenn ja, wie?
siehe dazu die angehangene skizze. die angegebenen x- und y-werte von punkt b sind nur pi-mal-daumen. achtung fehler: die in klammern-agegebenen werte hinter A müssen nicht 2 und 5 , sondern 2 und 6 lauten. sorry.
en und sollen rechnerisch exakt ermittelt werden.
3 Antworten
Hallo,
über den arctan (5/2) ermittelst Du den Winkel von Punkt (2|5), Rechner dabei auf grad einstellen.
Über des Satz des Pythagoras bekommst Du die Länge des Zeigers vom Koordinatenursprung zu (2|5): Wurzel (2²+5²)=Wurzel (29).
Ziehe 45° vom ermittelten Winkel ab und Du erhältst den Winkel des neuen Punktes.
Nenne den Winkel beta (oder wie auch immer).
x-Koordinate des durch Drehung erhaltenen Punktes: Wurzel (29)*cos (beta);
y-Koordinate: Wurzel (29)*sin (beta).
Zur Kontrolle: P'=(4,949747468|2,121320344).
Die Koordinaten aus Deiner Zeichnung sind falsch.
Herzliche Grüße,
Willy
Dann kannst Du es trotzdem auf die gleiche Art berechnen, nur daß Du nun arctan (6/2=3) eingibst und von diesem Winkel 45° abziehst. Außerdem ändert sich natürlich die Länge des Zeigers auf Wurzel (40).
ok. ich fasse mal zusammen:
arctan(6/2) = 71,5650 grad minus 45 grad = 26,565 grad
länge zeiger ist 2² + 6² = 40, davon die wurzel = 6,3245
soweit, so gut.
wenn ich aber jetzt für den x-wert 6,3245 * cos (26,565) rechne, komme ich auf 0,9040, und nicht wie du auf den korrekten wert von 5,65. wo ist mein fehler?
Hast Du den Rechner auf grad eingestellt? Wurzel (40)*cos (26,565)=5,657
jetzt hab ichs. vielen dank. ein taschenrechner alleine liefert keine richtigen ergebnisse. man muss ihn auch richtig bedienen können. vielen dank. du hast mir sehr geholfen.
konntest du anhand deiner beschreibung und der korrekten koordinaten eine komplette beispielrechnung schreiben?
ahhh. moment. du hast ja mit 2 und 5 und nicht mit 2 und 6 gerechnet.
Weiß ich schon. Ändert aber nichts an der grundlegenden Methode.
Über den Arkustangens den Winkel bestimmen, 45° abziehen.
Mit Hilfe des Pythagoras, Sinus und Kosinus die neuen Koordinaten bestimmen.
Wenn man den Punkt (x ; y) um den Winkel Phi dreht, sind die neuen Koordinaten
x' = x * cos(Phi) - y * sin(Phi)
y' = x * sin(Phi) + y * cos(Phi)
Vorsicht: Hier ist Phi = -45° weil in mathematisch negativer Richtung gedreht wird.
Zur Herleitung der Transformationsformel (für den Fragesteller):
Sei x = a * cos(Alpha) und y = a * sin(Alpha)
Dann ist (Additionstheoreme)
x' = a * cos(Alpha + Phi) = a * cos(Alpha) * cos(Phi) - a * sin(Alpha) * sin(Phi)
und
y' = a * sin(Alpha + Phi) = a * sin(Alpha) * cos(Phi) + a * cos(Alpha) * sin(Phi)
Ersetzen von a * cos(Alpha) = x und a * sin(Alpha) = y ergibt
x' = x * cos(Phi) - y * sin(Phi)
y' = y * cos(Phi) + x * sin(Phi)
sehr kompakt. danke dir. hier das vorläufige endergebnis in vb.net:
Dim pt() As Double = main(6, 2, -45)
Debug.Print(pt(0) & vbTab & pt(1))
Function main(ByVal x As Integer, ByVal y As Integer, ByVal w As Integer) As Double()
Dim pt() As Double = {0, 0}
Dim tmp As Double = w * (Math.PI / 180)
pt(0) = x * Math.Cos(tmp) - y * Math.Sin(tmp)
pt(1) = x * Math.Sin(tmp) + y * Math.Cos(tmp)
Return pt
End Function
Sollte leicht über den Pythagoras und die Definitionen von Sinus oder Cosinus gehen.
Die Länge des Ortsvektors zu A bestimmst du mit dem Pythagoras, da du ja in dem Dreieck (Ursprung, A, Lotpunkt von A auf die x-Achse) die beiden Katheten kennst.
Dann kannst du den Winkel berechnen, den der Ortsvektor A mit der x-Achse bildet und somit hast du den Winkel vom Ortsvektor B mit der x-Achse.
Dann über den Sinus dieses Winkels die y-Koordinate von B und über den Cosinus die x-Koordinate von B.
Fertig!
die koordinaten des punktes a sind 2 und 6 und nicht 2 und 5. das ist korrekt. warte noch. ich bin noch beim durchdenken...