Mathe: Spitze einer Pyramide im Raum berechnen?
Moin
Ich verzweifle gerade bei einer Matha Aufgabe: ich habe gegeben
Punkt P (7|-2|8), Punkt Q (4|4|2), Punkt 0 (Koordinatenursprung) und Gerade h:
h: x= (3|-3|9)+"fi" x (4|1|1)
Die Aufgabe ist, dass Eine Pyramide 0PQS das VOlumen 27 hat. Punkt S ist die Spitze und liegt auf der Geraden h.
Wie zur Hölle komme ich auf die Koordinaten von Punkt S?
Kann mir das jemand schlaues sagen? Vielen Dank
Hab's gelöst.
Als Grundlage nimmt man hier die Formel V=1/6*(OPxOQ)*h
(OPxOQ)*h ist die ganz normale Formel für das Spatprodukt. Der Faktor 1/6 davor kommt von der dreiseitigen Pyramide
Vektoren OP und OQ lassen sich ja einfach bestimmen. Rechnet man das Ding dann durch, erhält man am Ende "fi"=irgendein Wert. Nun setzt man "fi" in die Geradengleichung ein und hat die Koordinaten vom ersten Punkt.
Um den zweiten Punkt zu bekommen, muss man einfach OP und OQ im Kreuzprodukt vertauschen. Das kehrt einfach die Vorzeichen um. Rechnet man das nun wieder durch, erhält man den zweiten Wert für "fi".
Dann einfach wieder einsetzen in die Geradengleichung und fertig.
Ich schreibe das jetzt, weil die Antworten hier nicht zielführend sind
2 Antworten
Anscheinend handelt es sich nicht notwendigerweise um eine "gerade" Pyramide - was auch immer "gerade" bei einem allgemeinen Dreieck heißt, möglicherweise Spitze über dem Schwerpunkt.
Volumen V einer Pyramide mit Grundfläche G und Höhe h:
V = 1/3 G h
G lässt sich aus dem gegebenen Dreieck berechnen, h aus V und G durch obige Formel.
S ist dann derjenige Punkt, der auf h liegt und von der durch das Dreieck bestimmten Ebene den Abstand h hat.
1) die Geradengleichung PQ bestimmen
(4/4/2)=(7/-2/8)+1*(mx/my/mz)
x-Richtung: 4=7+1*mx → mx=(7-4)/1=3
y-Richtung: 4=-2+1*my → my=(-2-4)/1=-6
z-Richtung: 2=8+1*mz → mz=(8-2)/1=6
PQ g: x=(7/-2/8)+r*(3/-6/6)
Richtungsvektor PQ m(3/-6/6)
alle 4 Richtungsvektoren der Grundfläche bilden einen 90° Winkel
Das Skalarprodukt muß deshalb NULL sein
a*b=ax*bx+ay*by+az*bz=0
m1*m2=m1x*m2x+m1y*m2y+m1z*m2z=0
Pyramide OPQS bedeutet,die Grundfläche ist quadratisch
Abstand von 2 Punkten im Raum Betrag d=Wurzel(x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)
Abstand P→Q d=Wurzel((7-4)²+(-2-4)²+(8-2)²)=9
Dreipunktgleichung der Ebene E: x+r*(b-a)+s*(c-a)
Punkte an der Grundfläche der Pyramide A(0/0/0) → a(0/0/0) P=B(7/-2/8) →b(7/-2/8)
Q=C(4/4/2) → c(4/4/2)
Ebenengleichung E: x=(0/0/0)+r*((7/-2/8)-(0/0/0))+s*((4/4/2)-(0/0/0))
nun die Ebenengleichung in die Normalengleichung umrechnen
E: (x-a)*n=0
Die Höhe h der Spitze ergibt sich aus V=1/3*Ag*h
h=V*3/Ag=27*3/9²=1
Hinweis:Die Spitze S(xs/ys/zs) liegt auf der Mitte von der Diagonalen von der Grundfläche.
Tipp:Mach zuerst mal ein Schrägbild von der Pyramide,damit du weißt,wei die Geraden verlaufen und wie die Grundfläche im Raum liegt.
Benutze dafür ein Stück Karton,was du aus einer Milchtüte ausschneidest.
Den Rest schaffst du wohl selber.Die ganze Rechnerei ist mir zu viel Arbeit und das Risiko für Rechenfehler ist mir zu hoch.
Oooh ja,stimmt,hast Recht
Grundfläche OPQ sind 3 Punkte,also Grundfläche ist dreieckig.
Du hast da was falsch verstanden. Eine Pyramide OPQS hat nur vier Ecken und hat damit als Grundfläche ein Dreieck. Aber habs mittlerweile gelöst