Mathe Notfall?

Hallo Friends und alle Mathe begabten unter euch !!
mich bräuchte mal beide der 7c Hilfe.

hab es mit Additionsverfahren versucht, aber da löst sich alles auf.
irgendwelche Lösungsvorschläge ?:/

Answer 1

[mihisu]

hab es mit Additionsverfahren versucht, aber da löst sich alles auf.

Kannst du genauer beschreiben, was du mit „da löst sich alles auf“ meinst? Wie sieht überhaupt das von dir aufgestellte Gleichungssystem aus?

So kann ich dir leider schlecht helfen. Ich kann höchstens einen Lösungsweg zum Vergleich beschreiben.

=============

Bedingungen, die erfüllt sein sollen...

$f'(-2)=0\quad \text{(Sattelpunkt bei }x=-2\text{)}$

$f(-2)=0\quad \text{(Graph verläuft durch den (Sattel-)Punkt }\left(-2\middle|0\right)\text{)}$

$f(0)=-2\quad \text{(Graph verläuft durch den Punkt }\left(0\middle|-2\right)\text{)}$

$f'(1)=0\quad \text{(Tiefpunkt bei }x=1\text{)}$

$f(2)=0\quad \text{(Graph verläuft durch den Punkt }\left(0\middle|2\right)\text{)}$

Es sieht nach einer Polynomfunktion 4. Grades aus. [Da die Funktion links von +∞ kommt und rechts wieder nach +∞ verschwindet, muss der Grad gerade sein. Aber wegen dem Sattelpunkt bei x = 2 reicht Grad 2 nicht aus, sodass es mindestens Grad 4 sein muss. Außerdem kann man recht angenehm die 5 zuvor genannten Bedingungen aus der Zeichnung ablesen, sodass die Anzahl der Bedingungen für 5 Koeffizienten bei einer Polynomfunktion 4-ten Grades passen sollte.]

Dementsprechend würde ich also ansetzen...

$f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$

$f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d$

Für die 5 Bedingungen erhält man dann das Gleichungssystem...

$\begin{array}{rcrcrcrcrcrcr}\left[\text{G}1\right]: &&-32a&+& 12b & - & 4c & + & d &&& = & 0 \\\left[\text{G}2\right]: && 16a & - & 8b & + & 4c & - & 2d & + & e & = & 0 \\\left[\text{G}3\right]: &&&&&&&&&& e & = & -2 \\\left[\text{G}4\right]: && 4a & + & 3b & + & 2c & + & d &&& = & 0 \\\left[\text{G}5\right]: && 16a & + & 8b & + & 4c & + & 2d & + & e & = & 0 \end{array}$

Als Lösung dieses Gleichungssystems erhalte ich dann...

$a=\frac{1}{8},\quad b=\frac{1}{2},\quad c=0\,\quad d=-2,\quad e=-2$

... und damit dann...

$f(x)=\frac{1}{8}x^4+\frac{1}{2}x^3-2x-2$

============

Alternativ könnte man auch eine dreifache Nullstelle bei x = -2 (da der Graph dort flach durch die x-Achse hindurch verläuft) und eine einfache Nullstelle bei x = 2 ansetzen...

$f(x)=a\cdot \left(x+2\right)^3\cdot \left(x-2\right)$

Dann könnte man noch berücksichtigen, dass der Graph die y-Achse bei y = -2 schneidet, also der Punkt (-2|0) auf dem Graphen liegt...

$f(0)=-2\quad \Leftrightarrow \quad a\cdot 2^3\cdot \left(-2\right)=-2\quad \Leftrightarrow \quad a=\frac{1}{2^3}\quad \Leftrightarrow \quad a=\frac{1}{8}$

Dann erhält man also...

$f(x)=\frac{1}{8}\cdot \left(x+2\right)^3\cdot \left(x-2\right)$

Fertig.

[Zur Probe könnte man beispielsweise noch überprüfen, ob f'(1) = 0 ist, damit bei x = 1 der Tiefpunkt sein kann.]

Wenn man den Funktionsterm ausmultipliziert erhält man übrigens dann wieder...

$f(x)=\frac{1}{8}x^4+\frac{1}{2}x^2-2x-2$

Comments

[Kssfreyska]

Vielen Dank für die ausführliche Antwort !!
Ich werde es sofort überarbeiten :))

hab es zusätzlich auch verstanden.

Answer 2

[evtldocha]

Das sieht nach einer ganzrationalen Funktion 4. Grades mit einer 3-fachen Nullstelle bei x = -2 und einer einfachen Nullstelle bei x = +2 sowie einer Streckung von 1/8 aus

Daher mein Ansatz erstmal (in der Aufgabe steht nicht, dass ich das mit einem LGS lösen muss)

$f\left(x\right)=a\cdot\left(x+2\right)^3\cdot\left(x-2\right)$ $f\left(0\right)=a\cdot8\cdot\left(-2\right)=-2\ \to a\ =\ \frac{1}{8}$ Skizze: