Lineare Algebra I, kann jemand erklären, wie man auf die Lösung kommt?
Die lösung ist:
Ich verstehe nur nicht wie man auf dei MAtrizen kommt, wenn ich den Drehwinkel 2pi/3, also 120° habe, habe ich doch (a1a3a5) oder? Wie genau kommen die nun auf
?
2 Antworten
Alle Eckpunkte liegen auf einem Kreis mit Radius a1 (= 1). Die Spannvektoren lauten:
v1 = (1,0)
v2 = (-cos(60), sin(60)) = (-1/2, sqrt(3)/2)
Mit der Substitution w = sqrt(3)/2 lautet die Basismatrix A:
A = | 1 -1/2 |
| 0 w |
allgemeine Drehmatrix:
D = | cos(a) -sin(a) |
| sin(a) cos(a) |
Für a = 2*pi/3
Da = | -1/2 -w |
| w -1/2 |
Drehung:
Da x A = | -1/2 -1 |
| w 0 |
Ansatz:
Da x A = A x A1
A1 = A^-1 x Da x A
A^-1 = | 1 1/sqrt(3) |
| 0 2/sqrt(3) |
A1 = | 0 -1 |
| 1 -1 |
Schau dir das 6-Eck an, bei dieser Drehung geht
... a1 auf a3 = 0 * a1 + 1 * a3 und
... a3 auf a5. Es wurde schon erwähnt, dass a5 = (-1) * a1 + (-1) * a3.
Daraus kannst du die Einträge der Matrix ablesen.
Verstehe ich nicht :-).
... dass am Ende a3 und a5 übrig bleiben? ...
Es bleiben nicht nur die übrig. Das sind die beiden Bildvektoren von a1 und a3. Damit ist die lineare Abbildung vollständig beschrieben. Wenn du wissen willst, ob bei dieser Abbildung auch a1 herauskommen kann, dann musst du eine Lösung suchen für
(x, y) A1 = (1,0),
denn (x, y) A1 beschreibt alle möglichen Bilder der Abbildung.
Danke, also nehmen wir mal S_(14), wenn man dort spiegelt hat man ja am Ende in Zyklenschreibweise (35)(26) oder? Also 3 bildet auf 5 ab, die 5 auf die 3 und die 2 auf die 6 und die 6 auf die 2?
Inwiefern repräsentiert das A3?
ACHSO... DANKE!
Aber warum muss ich nicht a1 abbilden? Also klar ich bilde a1 auf a3 ab, in dem ich die erste Spalte der Matrix
0
1
mache, aber adruch habe ich doch nur a3? Wenn ich a1 auf a3 abbilden möchte, sollte ich nicht auch die a1 irgendwie darstellen?
Auch bei der 2 Spalte, dei entspricht ja nur a5, somit habe ich ja am Ende bei der Matrix nur a3 und a5 dargestellt oder nicht?
(Ich hoffe du verstehst was ich meine, also die erste Spalte, repräsentiert ja dann nur a3 und die zweite nur a5, aber warum repräsentiert man nicht irgendwie die Beziehung, also dass man klar sieht a1 bildet auf a3 ab und a3 auf a5, so sieht man ja nur, dassa am Ende a3 udn a5 übrig bleiben?)