Limes dieser Funktion?

Hallo liebe Mathe-Community,

ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter und wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir bei dieser helfen könntet.

Ich soll den rechtsseitigen Limes $\lim_{x->0+}\left(\frac{1}{g\left(x\right)}-\frac{1}{x}\right)$ mit $g\left(x\right)=\ln\left(\sin\left(x\right)+1\right)$

berechnen.

Da ∞ - ∞ wohl schlecht geht, hab ich es eben mit l`Hospital probiert, indem ich die Brüche auf einen Nenner gebracht hab, aber da kommen nach dem zweiten oder dritten Schritt so komplizierte Brüche raus, dass ich bezweifle, dass das die richtige Lösung sein soll. Ich meine, mich erinnern zu können, dass mein Prof dazu mal ein Beispiel mit einem Trick gemacht hat, aber ich hab jetzt keine Lust, nochmal alle Vorlesungen durchzugehen, um die Stelle zu finden.

Ich bedanke mich schon mal im Voraus über alle hilfreichen Antworten!

Answer 1

[mihisu]

L'Hospital ist hier keine schlechte Idee. Das würde ich hier auch probieren. Und das funktioniert hier auch... Nach 2-maliger Anwendung der Regel von L'Hospital kommt man zu einem Ergebnis.

$\lim\limits_{x\to 0^+}\left(\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{x}\right)$

$=\lim\limits_{x\to 0^+}\left(\frac{1}{\ln(\sin(x)+1)}-\frac{1}{x}\right)$

$=\lim\limits_{x\to 0^+}\left(\frac{x}{x\cdot \ln(\sin(x)+1)}-\frac{\ln(\sin(x)+1)}{x\cdot \ln(\sin(x)+1)}\right)$

$=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{x-\ln(\sin(x)+1)}{x\cdot \ln(\sin(x)+1)}$

$\overset{\text{L'Hospital}}{=}\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{1-\frac{\cos(x)}{\sin(x)+1}}{1\cdot \ln(\sin(x)+1)+x\cdot \frac{\cos(x)}{\sin(x)+1}}$

[Erweitere den Hauptbruch mit sin(x) + 1]

$=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{\sin(x)+1-\cos(x)}{\left(\sin(x)+1\right)\cdot \ln(\sin(x)+1)+x\cdot \cos(x)}$

$\overset{\text{L'Hospital}}{=}\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{\cos(x)+\sin(x)}{\cos(x)\cdot \ln(\sin(x)+1)+\left(\sin(x)+1\right)\cdot \frac{\cos(x)}{\sin(x)+1}+1\cdot \cos(x)+x\cdot \left(-\sin(x)\right)}$

$=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{\cos(x)+\sin(x)}{\cos(x)\cdot \ln(\sin(x)+1)+\cos(x)+\cos(x)-x\cdot \sin(x)}$

$=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{\cos(x)+\sin(x)}{\cos(x)\cdot \ln(\sin(x)+1)+2\cdot \cos(x)-x\cdot \sin(x)}$

$=\frac{\cos(0)+\sin(0)}{\cos(0)\cdot \ln(\sin(0)+1)+2\cdot \cos(0)-0\cdot \sin(0)}$

$=\frac{1+0}{1\cdot \ln(0+1)+2\cdot 1-0\cdot 0}$

$=\frac{1}{\ln(1)+2}$

$=\frac{1}{0+2}$

$=\frac{1}{2}$

============

Ansonsten könnte man theoretisch auch nach...

$\lim\limits_{x\to 0^+}\left(\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{x}\right)$

$=\lim\limits_{x\to 0^+}\left(\frac{1}{\ln(\sin(x)+1)}-\frac{1}{x}\right)$

$=\lim\limits_{x\to 0^+}\left(\frac{x}{x\cdot \ln(\sin(x)+1)}-\frac{\ln(\sin(x)+1)}{x\cdot \ln(\sin(x)+1)}\right)$

$=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{x-\ln(\sin(x)+1)}{x\cdot \ln(\sin(x)+1)}$

... die Reihenentwicklung im Zähler und Nenner betrachten, und erhält dann...

$\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}+\text{...}}{x^2-\frac{x^3}{2}+\text{...}}=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{\frac{1}{2}\overbrace{-\frac{x}{6}+\text{...}}^{\to 0}}{1\underbrace{-\frac{x}{2}+\text{...}}_{\to 0}}=\frac{\ \ \frac{1}{2}\ \ }{1}=\frac{1}{2}$

Comments

[zxxn7]

Danke vielmals! Nach so kurzer Zeit so eine tolle ausführliche Antwort. Also hätte ich doch mit l`Hospital weiter machen sollen. Hab mich wohl zu früh von den schieren Ausmaßen des Terms einschüchtern lassen...