Leichte Frage?
Die Gleichung 2y minus 2017, alles im Quadrat gleich k, wobei k eine reale Zahl ist, hat zwei verschiedene positive ganzzahlige Lösungen für y, von denen eine durch 100 teilbar ist. Was ist der Mindestwert von k
2 Antworten
Hallo.
Zunächst einmal gilt:
k = (2y - 2017)²
Das ergibt offensichtlich eine quadratische Gleichung, wobei y1/y2 beides positive Ganzzahlen (natürliche Zahlen) sind und (mindestens) eine davon ein Vielfaches von 100 sein soll.
Lösen wir erstmal die Klammer auf:
4y² - 4y*2017 + 2017² = k | : 4
y² - 2017 + (0,5 * 2017)² = k/4
y = 2017/2 +- Wurzel((2017/2)² - (2017/2)²)
Wie du siehst ergibt der Wurzelinhalt momentan 0. Wie müssen wir also den Wurzelinhalt über k steuern, damit y die gewünschten Kriterien erfüllt?
Nun, 2017/2 = 1008,5. Da wir die Mindestgröße von k angeben sollen, müssen wir k möglichst klein wählen, wir suchen also das nächste Vielfache von 100 von 1008,5 entfernt, was schlicht 1000 ist.
Der Inhalt der Wurzel muss am Ende also 8,5² entsprechen, denn dann ergibt sich 1008,5 +- 8,5. Einmal 1000 und einmal 1017. Zwei Ganzzahlen und eine davon ist ein Vielfaches von 100.
Gesucht ist also:
y = 1008,5 +- 8,5
Da sich bisher (p/2)² und q die Waage halten, muss k also mindestens 4*8,5² = 289 sein. Zur Kontrolle:
4y² - 4y*2017 + 2017² = 289 | : 4
y² - 2017y + 1008,5² = 72,5 | - 72,5
y² - 2017y + 1017000 = 0
y = 1008,5 +- Wurzel(1008,5² - 1017000)
y = 1008,5 +- Wurzel(72,25)
y = 1008,5 +- 8,5
y = {1017; 1000}
Damit hätten wir alle Kriterien erfüllt. Daher gilt als Antwort
k >= 289
für y = 1000 kommt man auf (-17)² = k = 289; das 2. y ist dann (2017+17)/2 = 1017
schnell überschlagen scheinen alle anderen y (900,1100 usw.) zu größerem k zu führen ...
man könnte die neue Unbekannte nx einführen so dass ein y = nx * 100 ist, und dann für nx = 1, 2, 3, 4, 5, ... das k ausrechnen, und dann das kleinste nehmen. damit kommt man dann auf nx=10, und die y sind 1000 und 1017 ...
Das ist hier keine stetige Funktion, eben wegen der Teilbarkeitsbedingung.
Kann man das auch nicht als Funktion betrachten, und da die Mindestwert suchen