Kubische Funktion allgemein lösen?
Gegeben ist eine Funktion f(x) = ax^3 + cx.
Wie kann x(f) in einer allgemeinen Funktion definiert werden?
3 Antworten
Das ist nicht ganz so einfach. Denn je nach Parameterwahl kann die Umkehrfunktion mehrdeutig ausfallen. Für manche Mathematiker ist der Funktionsbegriff ganz streng mit einer Eindeutigkeit verbunden. Solange a und c immer das gleiche Vorzeichen haben ist auch die Umkehrfunktion noch eindeutig und kann mit den Cardanischen Formeln notiert werden.
Für den Fall c/a <0, also für alle Fälle in denen a und c ein unterschiedliches Vorzeichen haben besitzt die Funktion f(x) zwei Extremstellen und zwar an den den Stellen
Ausserhalb dieser beiden Grenzen gilt auch dann noch die obige Umkehrfunktion. Jedoch gelten innerhalb dieser Grenzen folgende drei Umkehrfunktionen:
Das folgende Bild zeigt die Umsetzung für die Parameter a=0,5 und c = -3
Nachtrag zur Anfrage f(x) = ax^3 + cx + d
Solange gilt a>0 und c>0 gibt es stets eine eindeutige Umkehrfunktion. Die Erweiterung mit der Konstanten d stellt kein Problem dar. Siehe Lösung
Brauchst im Argument nur f gegen f-d auszutauschen. Hier eine Beispielrechnung
warum fragst nich WA? oder nimmst das Verfahren aus der WP? wenn du Nullstellen suchst?
Mit allgemeinen Parametern a und c kann das schon mal nicht gehen, da f(x) bijektiv sein muss, um umkehrbar zu sein. Aber selbst wenn man a und c so hat, dass f'(x) = 3ax^2 + c >0, ist es eine etwas mühsame Anwendung der Formeln von Cardano (https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln) auf die Nullstellensuche für das Polynom
x^3 + c/a x - y/a
mit p = c/a und q = -y/a im Formalismus von Cardano.
Ich brauche das ganze allgemein, weil es eine Formel ist, mit der zuerst in einem Gleichungssystem f([ein anderer Parameter als x]) berechnet werden soll und anschließend damit x berechnet werden soll.
Die Parameter a und c müssen übrigens auch erst berechnet werden, indem für x und f Messwerte in f(x) eingesetzt werden.
Mir ist gerade aufgefallen, dass ich f([nicht x]) in x(g) einsetzen kann! Damit muss ich x(f) gar nicht berechnen! Trotzdem vielen Dank!
was meinst du mit:
Wie kann x(f) in einer allgemeinen Funktion definiert werden?
eigentlich? die Umkehrfunktion? oder vertippt? und mit „definiert“? Nullstellen finden? oder was?
das ist allgemein etwas länglich.... aber in dem Fall ist es ja leicht:
- x ausklammern... dann hat man f(0)=0 gefunden...
- dann hat man noch a·x²+c=0 und das ist:
ein Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren Null ist (und die anderen endlich... lol)...
oder?
Gesucht ist die Umkehrfunktion. Das ganze ist eine Formel, die ich allerdings in beide Richtungen anwenden muss. Die Parameter sind nicht bekannt. Die Nullstellen sind nicht gesucht, wären aber auch nicht mit dem Nullprodukt berechenbar, da 0 = ax^3 + cx + f = x(ax^2 + c + f/x) und damit x ≠ 0 ist.
Korrektur: Ich meinte, dass es nicht lösbar ist, indem es nach 0 umgestellt wird. Außerdem habe ich ein Vorzeichen vertauscht: 0 = ax^3 + cx - f = x(ax^2 + cx ‐ f/x).
Die Nullstellen können mit deiner Methode natürlich berechnet werden, aber die nützen mir leider auch nichts...
hm...
also y=a·x³+c·x nach x auflösen?
da du bereits für bis zu 3 Stellen eine Nullstelle hast, eixistiert die Umkehrfunktion nicht immer... für a ungleich Null erhälst du also 3 „Äste“... die sehen aus wie Sau... bei WA... Riesige Terme... 🥴
Ich habe mich mitlerweile mit einer zweiten Bedingung zu
0 = ax^3•e^3 + x•(c•e – 1) – d
vorgearbeitet. Achtung: Das gesuchte x ist jetzt nicht mehr das ursprüngliche aus f(x)!
Lässt sich x jetzt bestimmen?
also jetzt doch Nullstelllen und nicht Umkehrfunktion?
da gibt es wieder 3 Lösungen, die aber tierisch kompliziert aussehen... WA
die Kubische Gleichung lässt sich oft nur kompliziert lösen... da steht son Kochrezept dazu... ist aber ziemlich umständlich... https://de.wikipedia.org/wiki/Kubische_Gleichung
* e steht übrigens nicht für die Eulersche Zahl, sondern ist einfach nur eine Variable
hilft auch nix... grinz... https://www.wolframalpha.com/input?i=solve+for+x%3A+0+%3D+ax%5E3%E2%80%A2f%5E3+%2B+x%E2%80%A2%28c%E2%80%A2f+%E2%80%93+1%29+%E2%80%93+d
Vielen Dank soweit erstmal! Meine Funktion hat sich jetzt um den Parameter d erweitert und jetzt gilt f(x) = ax^3 + cx + d mit a >= (größer/gleich mit Smartphone-Tastatur ;)) 0, b >= 0 und d <= 0.
Gibt es dafür auch eine allgemeine Formel?