Kreis zur Ellipse stauchen, sodass Umfang/flächeninhalt gleich bleiben?

4 Antworten

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Ich habe nur gerechnet :

Bei Tannibis Antwort von 31,4 cm liegt folgendes vor

......

Mit U ( Kreis) von 78.54 (gerundet!) und mit 31.4 erhalte ich U ( Ellipse ) 78.29 ..... da wundert es mich schon ,daß die einfache Näherungsformel um immerhin 0.25 cm abweicht. Fazit : recht suboptimal

Formel : die einfache Näherung

................

dann bin ich mit dieser Formel auf das Problem losgegangen, die eine bessere Näherung bringen soll

und erhalte für a

16.288 , damit der andere Durchmesser :::: 32.576

berechnet mit

https://www.wolframalpha.com/input/?i=pi*(+(+a+%2B+8+)+%2B+((+3+*+(+a+-+8+)%5E2+))+%2F+((+10+*+(+a+%2B+8+)+%2B+(sqrt(+a%5E2+%2B+14*a*8+%2B+8%5E2+))+))+)+%3D+25*pi

formel von hier

https://de.wikipedia.org/wiki/Ellipse#N%C3%A4herungsformel_nach_Ramanujan

 - (Schule, Mathe, Geometrie)  - (Schule, Mathe, Geometrie)
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ist das super! werde den neuen Durchmesserwert nochmal verwenden und die Rechnung versuchen nachzuvollziehen. heute schaff ich es nicht mehr. DANKE!!

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ok, habe jetzt die Umfänge Kreis/Ellipse mit deinem Wert verglichen.

Kreis: 785.398 Millimeter

Ellipse mit deinem Wert: 785.409 Millimeter

Perfekt soweit! DANKE!

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Das kann man nicht exakt berechnen. Du kannst aber numerisch (also durch ausprobieren) eine ganz gute Näherung finden. Du brauchst nur einen Integralrechner.

https://de.wikipedia.org/wiki/Ellipse#Umfang

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o mann wenn ich das sehe blinken nur meine mathekomplexe im kopf, sonst leider nichts. verstehe nicht, dass es unter den hunderttausend befehlen in rhino dazu keinen gibt, der die lösung zumindest annähert. vielleicht muss ich das mit einem pappstreifen mit Umfanlänge manuell annähern.

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@33ter

Wenn du willst, dass der Flächeninhalt gleich bleibt (das ist etwas anderes), dann ist das Problem allerdings ganz einfach.

Für den Umfang kannst du in diese Gleichung :

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integral_0%5E%7B2pi%7D+sqrt(64+((sin(t))%5E2%2Bx%5E2%2F64+cos(t)%5E2))dt

für x einfach so lange Zahlen einsetzen, bis ungefähr 25pi raus kommt, möglicherweise kann dein Programm das auch für dich übernehmen, etwa wenn du solve 25pi=integral_0^{2pi} sqrt(64 ((sin(t))^2+x^2/64 cos(t)^2))dt eingibst. Das sollte etwas besser sein als mit Pappstreifen.

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45
@33ter

Die Lösung ist irgendwas zwischen 32 und 33 cm.

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Ich bekomme für die längere Achse mit der Näherungsformel 31,4cm raus.

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Hey DANKE! In Rhino überprüft, der Umfang unterscheidet sich um 2,1cm, (785.398 mm (Kreis) zu 764.339 mm (Ellipse)) ist also nicht ganz richtig, werde in Rhino von da aus mit mehreren Zeichnungen weiter annähern.

Leider bleibt der Flächeninhalt nicht mit dem Umfang proportional. Ich dachte, er würde sich bei der Stauchung, also Verkürzung + Verbreiterung des Kreises in 2 Richtungen nicht verändern. Dass der Flächeninhalt von 490 auf 394 sinkt, ist für meine Zwecke nicht optimal, dadurch habe ich einen Strömungswiederstand am Rohraustritt. Ist an der Stelle aber zu verschmerzen.

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@33ter

Das mit der Fläche kann ja gar nicht sein.
Wenn du im Extremfall den Kreis so verformst,
dass die kleinere Halbachse "fast Null" ist, ist
auch die Fläche "fast Null".

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@Tannibi

Stimmt, danke für die Erklärung, das ist allerdings einleuchtend

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