Wie kommt man hier schnell ohne Taschenrechner auf die Lösung?
Wird der Umfang eines Kreises von 1m auf 2m erweitert, verlängert sich der Durchmesser um 0,32m. Um etwa welche Länge verändert sich der Durchmesser, wenn der Kreisumfang von 10m auf 11m erweitert wird?
7 Antworten
a) Der Umpfang verdoppelt sich !!!
b) Der Umpfang wird hier lediglich um 1/10 verlängert !!!
U = 2 pi r
Das ist eine Variante eines alten, viele noch verblüffendes Problem.
ein Seil um den Äquator wird um 1m verlängert..........wie weit steht das Seil nun vom Erdboden ab , wenn es überall gleichmäßig angehoben wird ?
Das Seil um den Äquator hat immerhin eine Länge von 40 075 000 Metern !
Die Antwort : 15.9 cm ! das mal zwei sind 31.8 cm .........übrigens die exakte Anwort für diese Frage, nicht 32 cm .................und die Zahl stammt übrigens von 1/(2*pi).......
Und ist eben eine Konstante .
Und wie geht es ohne Taschenrechner ?
Man zeigt es , in dem man die Rechnung ohne Zahlen ( bis auf den einen Meter ) durchführt !
neuer Durchmesser bekommt den Namen dd :
dd = ( U+1 )/pi
dd = ( pi*d + 1)/ pi
dd = d + 1/pi
und die Differenz zwischen dd und d ist
dd - d :
d+1/pi - d = 1/pi
Der Durchmesser ist nicht mehr im Ergebnis, egal wie groß oder klein er also mal war : es kommt immer 1/pi heraus.
Wenn man auch vom der Angabe ein Meter weg will, also irgendeine Länge a , dann ist das Ergebnis
a/pi ................bei 4 Metern wären es also 4/pi = 1.27 Meter .
Mehr darüber hier :
Zum Schluss sei noch kurz die einfache Variante dieses Rätsels erwähnt: Wie weit steht das Seil von der Erde ab, wenn man es nicht an einer Stelle, sondern überall gleichmäßig und gleichzeitig hochzieht?
Eine Änderung des Kreisumfangs um 1 m bewirkt eine Änderung des Durchmessers um ca. 0,32 m. Insofern ist das Ergebnis bereits gegeben.
d_10 = U_10 / pi
d_11 = (U_10 + 1 m) / pi = U_10 / pi + 1 m / pi
1 m / pi = 0,318... m
Wie kommt man hier schnell ohne Taschenrechner auf die Lösung?
Wird der Umfang eines Kreises von 1m auf 2m erweitert, verlängert sich der Durchmesser um 0,32m. Um etwa welche Länge verändert sich der Durchmesser, wenn der Kreisumfang von 10m auf 11m erweitert wird?
Formel aufschreiben, umstellen und dann das Ergebnis ausrechnen.
Du wirst angenehm überrascht sein.
Für den Umfang u und den Durchmesser d einer Kreislinie gilt...
Wenn man nun den Umfang um 1 m vergrößert...
Verlängert man den Umfang um 1 m, erhöht sich der Durchmesser immer um den gleichen Betrag (1 m)/π ≈ 0,32 m. (Dabei ist es egal, wie groß der ursprüngliche Kreisumfang gewesen ist.)
Demnach kann man einfach die Differenz 0,32 m, die bereits im ersten Fall gegeben ist, auch für den zweiten Fall angeben.
Ergebnis: Wenn man den Kreisumfang von 10 m auf 11 m erweitert, ändert sich der Durchmesser ebenfalls um etwa 0,32 m.
