Koordinatenebene?
Hey,
wie genau lautet die Koordinatengleichung für die x1,x2-Ebene? Ich weiß, dass wenn ein Punkt auf dieser Ebene liegt die Koordinaten zum Beispiel P(2/7/0) hat, da ja die x3 achse bei 0 liegt. Im Internet habe ich folgende Gleichung gefunden: x3=0. Stimmt das und wenn ja warum?
Vielen Dank
Lg
3 Antworten
Der Normalvektor besitzt nur eine x3-Achse, weshalb in der koordinatenform x1 und x2 = 0 sind:
E:0*x1+0*x2+n3*x3+c=0;
n3 ist ein beliebiger Wert...
Also:
n=(n1|n2|n3);
Bei der x1,x2-Ebene ist der Normalvektor, der ja orthogonal zur Ebene steht:
n=(0|0|n3);
Stellst du jetzt die Normalenform in Vektordarstellung dar ergibt sich:
E:(0|0|n3) o (x1-a1|x2-a2|x3-ax)=0; (Da der Nullpunkt auf der Ebene liegt können wir a=(0|0<0) setzen. Also ergibt sich:E:(0|0|n3) o (x1|x2|x3)=0;)
Das Skalarprodukt können wir auflösen zu:
E:0*x1+0*x2+n3*x3=0;
Das c ist in diesem Fall 0...
c muss 0 sein, sonst hast du eine Parallele zur Ebene...
Hab ich im oberen thread geklärt...
C muss 0 sein, da c=(-a3)*n3 gilt und der Aufpunkt bei a3 0 sein muss, da er sonst nicht auf der Ebene liegt...
Hallo,
die x1x2-Ebene ist die Menge aller Punkte in R3, deren x3-Koordinate gleich Null ist, daher lautet die Gleichung schlicht und einfach x3=0
Die x1- und x2-Koordinaten der Punkte sind dabei frei wählbar. Solange die x3-Koordinate 0 ist, liegen die Punkte - sofern sie im Raum R3 liegen - auf jeden Fall in der x1x2-Ebene.
Herzliche Grüße,
Willy
Wenn ich eine Aufgabe hätte die lautet: stellen sie die Gleichung der Koordinatenebene auf. Wäre es einfach x3=0??
was wenn ich es in Parameterform machen soll?
Ja, das wäre einfach x3 = 0.
Wenn Parameterformgefragt ist ...
(0, 0, 0) liegt in der x1,x2-Ebene. Und die x1,x2-Ebene wird von den Basisvektoren (1, 0, 0) und (0, 1, 0) aufgespannt, welche die x1- bzw. x2-Richtung beschrieben. Die Parameterform lautet demnach:
x = (0, 0, 0) + s * (1, 0, 0) + t * (0, 1, 0) für reelle Parameter s, t
oder kürzer
x = s * (1, 0, 0) + t * (0, 1, 0) für reelle Parameter s, t
Man kann es ja auch so sehen. In der x1,x2-Ebene liegen alle Punkte mit beliebiger x1-Koordinate und beliebiger x2-Koordinate (und x3-Koordinate gleich 0). Wie Willy1792 bereits geschrieben hat: x1- und x2-Koordinate sind frei wählbar. Beschreibt man diese also durch Parameter s und t, sieht man leicht, dass in der Ebene alle Punkte der Form x = (s, t, 0) liegen. (Wenn man das nun auseinanderzieht, erhält man wieder die zuvor angegebene Parameterform.)
Ich habe an einer Stelle versehentlich "die Parameterform" geschrieben. Genau genommen sollte es "eine Parameterform" lauten. Die Parameterform ist ja nicht eindeutig. Beispielsweise wäre auch durch
x = (4, 3, 0) + s * (2, 5, 0) + t * (1, -1, 0) für reelle Parameter s, t
eine Parameterform der x1,x2-Ebene gegeben.
Wobei man natürlich sagen muss, dass es in vielen Fällen einfacher ist mit der Form
x = (0, 0, 0) + s * (1, 0, 0) + t * (0, 1, 0) für reelle Parameter s, t
zu arbeiten. Es würde wohl kaum jemand auf die Idee kommen stattdessen unnötigerweise mit der Form
x = (4, 3, 0) + s * (2, 5, 0) + t * (1, -1, 0) für reelle Parameter s, t
zu arbeiten.
Nimm Dir mal den ersten Satz aus @Willy1729's Erklaerung her und denke gut darueber nach:
die x1x2-Ebene ist die Menge aller Punkte in R3, deren x3-Koordinate gleich Null ist, [...]
Eine Koordinatengleichung ist eine Gleichung der Form a x1 + b x2 + c x3 = d, wobei die Zahlen a, b, c und d je nach Ebene eben verschiedene Werte haben koennen. Wenn nach der Koordinatengleichung gefragt ist, musst Du entsprechende Werte fuer diese vier Zahlen finden.
Wenn Du a=0, b=0, c=1 und d=0 waehlst, hast Du eben x3=0. Markierst Du in einem 3D-Koordinatensystem alle Punkte (x1, x2, x3), die diese Gleichung erfuellen, dann malst Du doch genau die x1-x2-Ebene an, oder? Verstehst Du nun die Erklaerung oben?
Im Internet habe ich folgende Gleichung gefunden: x3=0. Stimmt das und wenn ja warum?
Ja! Du hast doch selbst einen Punkt angegeben, bei dem x3 = 0 ist!
ich verstehe dass da x3 0 ist aber warum ist die Gleichung x3=0?
für mich würde die Gleichung 2x1+7x2=0 sein?
????????????? Wenn x3 = 0 sein muss, ist die Bedingung x3 = 0, wer hätte das gedacht...
Wie bist du auf deinen Punkt gekommen? Evtl. doch nicht selbst...
Den Punkt habe ich einfach als Beispiel genommen
Wenn ich eine Aufgabe hätte die lautet: stellen sie die Gleichung der Koordinatenebene auf. Wäre es einfach x3=0??
was wenn ich es in Parameterform machen soll?
Dann nimmst du 2 RV, die in der Ebene liegen (z.B. entlang der x1 und x2 Achse) und als Einstiegspunkt z.B. den Koordinatenursprung.
Könntest du dies eventuell nochmal anders erklären verstehe es noch nicht ganz