Geben sie die Koordinatengleichung einer Ebene an, die parallel zur x1 x3 Ebene ist?
Hauptfrage steht oben, komme da leider nicht weiter. Außerdem war noch eine Aufgabe, dass man eine Ebene angeben soll, dir parallel zur x1 Achse ist.
Vielen Dank im Voraus!
LG Annibunny
2 Antworten
Die x₁-x₃-Ebene hat die Koordinatengleichung x₂=0. Und jede Ebene ist parallel zu sich selbst und parallel zu jeder darin enthaltenen Geraden.
x₂=0 löst also beide Aufgaben, solange nur irgendeine passende Ebene gefragt ist.
Würde bei der ersten Aufgabe auch x2=irgendeine reelle Zahl gehen ?
Klar doch: Der Normalenvektor (0;1;0) hat sogar schon die Länge 1.
Die Ebene x₂=d hat also zum Ursprung (und zur x₁-x₃-Ebene) den Abstand d.
Und bei der zweiten, könnte die x3 Koordinate da auch ungleich null sein?
Ja, "Ebene E parallel zu Gerade g" heißt soviel wie "Normalenvektor von E senkrecht zu Richtungsvektor von g".
Jede Linearkombination von (0;1;0) (x₂-Richtung) und (0;0;1) (x₃-Richtung) steht senkrecht auf (1;0;0) (x₁-Richtung). Damit passt jede Ebene der Form
a·x₂+b·x₃=c
Nur (a,b)=(0,0) funktioniert hier nicht, weil der Nullvektor nicht als Normalenvektor einer Ebene verwendet werden kann.
Vielen, vielen Dank!!! Das hat mir sehr weitergeholfen!
Wie ralphdieter schon sagte, ist die Ebene x2=0 eine Lösung. x1 und x3 können hier beliebige Werte annehmen.
Wir können also als Richtungsvektoren für die Ebene e1 = (1|0|0) und e3 = (0|0|1) nehmen. Da die Richtung einer Ebene und damit ihre Parallelität nur durch die Richtungsvektoren festgelegt wird, können wir jeden beliebigen Vektor als "Stützvektor" verwenden.
Da jede Änderung von x1 und x3 die Ebene nicht ändert, können wir z. B. (0|x2|0) als Stützvektor nehmen.
Wenn wir diese Ebene in Koordinatenform angeben wollen, ergibt sich also
x2 = c
für jedes beliebige reelle c.
Jedes reelle c legt eine solche Ebene fest und jede solche Ebene hat auch ein solches c.
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Eine Gerade parallel zur x1-Achse hat einen Richtungsvektor parallel zur x1-Achse, also von der Form (r|0|0) mit r ungleich 0. O. B. d. A. können wir r = 1 wählen.
Wie bei der Ebene können hier die übrigen Koordinaten beliebig (aber fest) gewählt werden, das bedeutet
x2 = c
x3 = d
mit beliebigen reellen Konstanten c und d; auch hier gibt es eine 1:1-Beziehung zwischen den Geraden parallel zur x1-Achse und den Konstantenpaaren (c, d).
Würde bei der ersten Aufgabe auch x2=irgendeine reelle Zahl gehen ?
Und bei der zweiten, könnte die x3 Koordinate da auch ungleich null sein?