Bestimmen Sie die Koordinatengleichung der Ebene E?

1 Antwort

Doch du hast alle Informationen, um die Ebene beschreiben zu können.

Du hast eine Gerade gegeben durch die zwei Punkte (Richtung ist (2/0/0)-(0/2/0) = (2/-2/0) ) und du hast noch eine Gerade gegeben durch den Hinweis, dass die Ebene parallel zur x3-Ebene verlaufen soll, nämlich durch den Richtungsvektor (0/0/1).

Damit lässt sich die Ebene wunderbar in Parameterform beschreiben durch die Menge aller Punkte mit

{ (2/0/0) + r* (2/-2/0) + s* (0/0/1) : r,s aus R }

Alternativ kann man es auch in Koordinatenform machen. Parallel zur x3 Achse heißt hier mathematisch gesehen, dass x3 in der Ebenengleichung nicht vorkommt.

Mit den beiden gegebenen Punkten kommt man schnell auf die Gleichung

x1 + x2 = 2

Ah achso. Ich glaub jetzt habe ich es verstanden...Die Parameterform hab ich genauso, aber die Koordinatenform hab ich durch Umwandeln der Parameterform rausgefunden und hab 2x1+2x2=4 raus. Ist das auch richtig ? Und könntest du vielleicht erklären wie du ohne vorher die Parameterform zu bestimmen die Koordinatenform weißt ? Vielen Dank!

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@Annibunny2002

Ja, das ist auch richtig. Gleichungen verändern sich nicht, wenn man sie skaliert (also beide Seiten mit einem Faktor multipliziert). Wenn du deine Gleichung auf beiden Seiten halbierst, erhältst du meine Lösung, ist aber genau dasselbe, nur halt unkomplizierter. Die richtige Lösung bei der Koordinatenform war bei mir relativ intuitiv: Ich habe mir die Ebene bildlich vorgestellt als eine Gerade, auf der die beiden gegebenen Punkte liegen und die einfach "nach oben gezogen wird". Dadurch, dass die x3 Koordinate keine Rolle spielt (wegen Parallelität zur x3 Achse), muss nur eine Gleichung a*x1 + b* x2 = d für alle Punkte auf der Ebenen erfüllt sein, u.a. für deine Punkte (2/0/0) und (0/2/0). Man sieht leicht, dass das mit x1 + x2 =2 erfüllt ist. Wenn du es mehr mathematisch haben willst, muss also gelten:

(1) 2*a = d

(2) 2*b = d

--> a=b und d=2*a

Du kannst einfach irgendeine Zahl für a wählen (am einfachsten 1) damit erhältst du a=b= 1 und d=2. Deine Ebenengleichung ist somit also x + y =2.

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