Koordinatenabbildungen, Matrixdarstellungen und Basiswechselmatrizen?
Kann mir jemand das Diagramm auf dem Bild erklären?
Liebe Grüße :)
1 Antwort
In der Mitte des ganzen steht zunächst einmal ja nur, dass du zwei Vektorräume hast (V und W) und eine lineare Abbildung von V nach W.
Vektorräume und lineare Abbildungen sind zunächst abstrakte Begriffe. In der Schule arbeitet man von vornherein mit irgendwelchen Tupeln (x,y,z), (1,0,0) oder ähnlichem als Vektoren, aber das ist bereits eine bestimmte Form. Allgemein ist ein VR nur etwas, was die Axiome für einen Vektorraum erfüllt, das können aber auch ganz andere Sachen sein (so bilden z. B. die Abbildungen von R nach R einen Vektorraum oder die Polynome bis zu einem bestimmten Grad (oder auch alle) usw. usw.). Das gleiche gilt für eine lineare Abbildung, auch die ist erstmal was abstraktes, auch wenn man in der Schule stets mit Matrizen rechnet, wenn es um lineare Abbildungen geht.
Nun kann man aber (zumindest wenn der Vektorraum endlich dimensional ist und eine Basis mit n Elementen hat), einen Vektorraum über einen Körper K immer mit den n-Tupeln über diesen Körpern identifizieren und eine lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen durch eine Matrix.
Welches Vektorraumelement man aber mit welchem Tupel identifiziert und welche lineare Abbildung mit welcher Matrix, das hängt dann davon ab WELCHE BASIS man verwendet.
Man ist aus der Schule sehr gewohnt, dass die Basis eines VR sowas ist wie
(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)
Das muss aber nicht so sein. Es gibt immer viele mögliche Basen, und es kann für verschiedene Zwecke sinnvoll auch mal andere Basen zu benutzen (z. B. weil man auf denselben Raum ja aus verschiedenen Richtungen schauen kann).
Hat man nun also zwei verschiedenen Basen, so sind auch die Tupel unterschiedlich, die man mit einem Vektorraumelement identifiziert.
Hat man zwei VR mit je zwei verschiedenen Basen, dann sind auch die Matrizen unterschiedlich, die man mit einer linearen Abbildung identifiziert.
Und genau das steht in deinem Diagramm.
Die K...-Abbildungen sind diejenigen, mit denen du ein Elment aus einem Vektorraum mit einem Tupel aus K^n bzw. K^m identifizierst. Je nach Basis unterscheiden die sich.
Die id-Abbildungen sind die Basiswechsel-Abbildungen mit der man von der einen Darstellung des Vektors in K^n zur anderen Darstellung wechseln kann. Das sind Matrizen.
Und die f...-Abbildungen sind die unterschiedlichen Matrizen, die man bekommt, wenn man die lineare Abbildung f als Matrix schreibt, aber jeweils andere Basen zugrunde legt.