Könnte mir jmd erklären wie man den Wert des Logarithmus bestimmt?

Ich habe so angefangen aber verstehe nicht wie die Lösung 2^5/3 zustande kommt

Answer 1

[evtldocha]

$\log_8\left(\sqrt[3]{32}\right)=\log_8\left(\sqrt[3]{2^5}\right)\ =\ \log_{2^3}\left(2^{5\cdot\frac{1}{3}}\right)=\log_{2^3}\left(2^{\frac{5}{3}}\right)$

Nun ein Basiswechsel auf die Basis 2 mit:

$\log_{2^3}\left(x\right)=\frac{\log_2\left(x\right)}{\log_2\left(2^3\right)}$

Damit: $\log_{2^3}\left(2^{\frac{5}{3}}\right)=\frac{\log_2\left(2^{\frac{5}{3}}\right)}{\log_2\left(2^3\right)}=\ \frac{\frac{5}{3}}{3}=\frac{5}{9}$

Comments

[nobytree2]

Mit dem Basiswechsel wird hier schweres Geschütz aufgefahren. Man hätte den Basiswechsel doch auch direkt machen können via

log_(a^b) (x) = (log_a (x)) / b

Denn wenn die Basis a^b ist, bedeutet das ^b doch nur, das Ergebnis der Logarithmusfunktion dieses ^b b-mal berücksichtigen muss.

Denn log_a^b (x) = c <--> (a^b)^c = x = a^(b*c)

Also log_a^b (x) = c <--> log_a (x) = c*b <-> log_(a^b) (x) = log_a(x)/b

Aber das war jetzt nur Spielerei von mir.

Answer 2

[nobytree2]

log8(3Wurzel(32)) = log8 (32^(1/3)) = log8 ((2^5)^(1/3)) = log8 ((2^(5/3)) so weit so klar

Es gilt weiterhin 2³ = 8 und damit 8^(1/3) = 2. Wir können damit 2^(5/3) umschreiben in 8^(5/9)

= log8 (8^(5/9)) = 5/9

Test (2^(5/3))^(1/3) = 2^(5/9) ungleich 5/9

also falsch.

Man hätte auch Folgendes machen können:

log8(3Wurzel(32)) = log8 (32^(1/3)) = log8 (8^(1/3) * 4^(1/3))

= log8(8^(1/3)) + log8(4^(1/3) = 1/3 + log8(4^(1/3)) = 1/3 +log8(8^(1/3)/2^(1/3))

= 1/3 +log8(8^(1/3)) - log8(2^(1/3)) = 2/3 - log8(2^(1/3)) = 2/3 - log8(8^(1/9))

= 2/3 - 1/9 = 5/9

Comments

[evtldocha]

8^(1/3) = 2

Das ist klasse 👍.

Answer 3

[AusMeinemAlltag]

Da helfen ein paar mathematische Gesetze:

log_b(a ^ c) = c * log_b(a)

n-te Wurzel aus (a ^ c) = a ^ (c / n)

log_b(a) = ln(a) / ln(b)

ln(a * b * c) = ln(a) + ln(b) + ln(c)

Daraus folgt dann:

32 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 2 ^ 5

8 = 2 * 2 * 2 = 2 ^ 3

log_8(∛(32)) = log_8(32 ^ (1 / 3)) = log_8(2 ^ (5 / 3)) = (5 / 3) * log_8(2) = (5 / 3) * ln(2) / ln(8) = (5 / 3) * ln(2) / (ln(2) + ln(2) + ln(2)) = (5 / 3) * ln(2) / (3 * ln(2)) = (5 / 3) / 3 = 5 / 9