Könnt ihr mir die Aufgabe erklären (Laserbohrung)?
Ich bin etwas verzweifelt, was muss man überhaupt machen? Könnt ihr mir Schritt für Schritt von a) nach d) erklären?😅
Aufgabe: Ein Edelstahlblock hat die Form eines geraden quadratischen Pyramidenstumpfes. Die Seitenlänge der Grundfläche beträgt 8cm, die der Deckfläche beträgt 4cm und die Höhe beträgt 8cm
Mit einem Laserstrahl, der auf der Strecke PQ mit P(-3,5/9,5/6) und Q(-6/16/8) erzeugt wird, durchbohrt man das Werkstück. Der Koordinatenursprung liegt im Mittelpunkt der Grundfläche.
a) Stellen Sie Gleichungen für die Ebenen BCGF und ADHE auf.
b) Wo liegen Ein- und Austrittspunkt?
c) Wie lang ist der Bohrkanal?
d) Wo wird der Block getroffen, wenn der Laser längs der Strecke PQ mit P(1/9/5) und Q(-1/15/6)?
Bitte einfacher erklären 😅
Danke im Voraus 🙏
3 Antworten
einfach die Dreipunktgleichung der Ebene verwenden
E: x=a+r*(b-a)+s*(c-a)
grosse Grundfläche hat die 4 Punkte A(ax/ay/az) und B(bx/by/bz) und C(cx/cy/cz) und D(dx/dy/dz)
1) eine Zeichnung von der grossen Grundfläche machen-ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a=8 cm
2) die einzelnen Koordinaten aus der Zeichnung ablesen,der koordinaten ursprung liegt in der Mitte.
A(x/y/z)=(-4/-4/0) z=0 weil ja die Ebene im Ursprung liegt
A ist der Punkt unten rechts
B(x/y/z)=(4/-4/o) liegt unten rechts
C(x/y/z)=(4/4/0) liegt oben rechts
D(x/y/z)=(-4/4/0) liegt oben links
kannst natürlich auch anderen Buchstaben nehmen,wenn dir das lieber ist
nun die quadratische Fläche oben zeichnen mit dem Koordinatensystem
hier haben alle 4 Eckpunkte z=8 cm und die Kantenlänge a=4 cm
x=2 cm oder -2 cm je nach Punkt und y=2 cm oder -2 cm
Aufstellen der Geradengleichung des Laserstrahls
Geradengleichung im Raum g: x=a+r*m
a(ax/ay/az)=Stützpunkt (Stützvektor)
r=Geradenparameter,ist eine Zahl
m(mx/my/mz)=Richtungsvektor
gegeben : P(-3,5/9,5/6) und Q(-6/16/8)
wir wählen a=P als Stützpunkt und mit Q(...) können wir nun den Richtungsvektor m(mx/my/mz) ermittel
eingesetzt
Q=P+r*(mx/my/mz)
(-6/16/8)=(-3,5/9,5/6)+1*(mx/my/mz)
x-Richtung -6-(-3,5)=1*mx ergibt mx=-6+3,5=-2,5
y-Richtung 16-9,5=1*my ergibt my=6,5
z-Richtung 8-6=1*mz ergibt mz=2
Geradengleichung des Laserstrahls x=(-3,5/9,5/6)+r*(-2,5/6,5/2)
Nun musst du die 4 Ebenengleichungen für die 4 Matellflächen aufstellen
auch wieder mit der Dreipunktgliechung der Ebene
x=a+r*(b-a)+s*(c-a)
für die ersten 2 Ebenengleichung wählen wir
a=A(-4/-4/0) und b(...) und c(...) sind die entsprechenden Eckpunkte oben am kleinen Quadrat mit der Kantenlänge a=4 cm
Hinweis: Auf jeden Fall eine Zeichnung machen und die 8 Eckpunkte (4 unten und 4 oben) machen und bezeichnen.
Dann die 4 Mantelflächen mit Buchstaben bezeichen,damit du diese Ebenen auseinander halten kannst.
b) die Dreipunktgleichung umwandeln in die
Verktorielle Parametergleichung der Ebene
E: x=a+r*u+s*v und diese dann umrechnen in die
Normalengleichung der Ebene
E: (x-a)*n=0
n(nx/ny/nz) ist der Normalenvektor der Ebene,den du aus den beiden Richtungsvektoren u(ux/uy/uz) und v(vx/vy/vz)
am besten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt)
a kreuz b=c=n
n(nx/ny/nz) steht senkrecht auf u(ux/uy/uz) und v(vx/vy/vz)
n(..) kann auch über das Skalarprodukt a*b=ax*bx+ay*by+az*bz=0 ermittelt werden
1) n*u=nx*ux+ny*uy+nz*uz=0
2) n*v=nx*vx+ny*vy+nz*vy=0
nz=1 setzen ergibt dann eine lineares Gleichungssystem (LGS)
1) a11*x+a12*y=b1
2) a21*x+a22*y=b2
Den Rest schaffst du wohl selber.
Die ganze Rechnerei ist mir hier zu viel Arbeit.
c) Abstand von 2 Punkten im Raum
P1(x1/y1/z1) und P2(x2/y2/z2)
d=Betrag Wurzel(x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)^2
P1(,,,) und P2(....) sind die Schnittpunkte der Geraden mit den 2 Ebenen (2 Ebenen der 2 Mantelflächen)
Welche der drei Achsen zeigt nach oben, X, Y, oder Z?
Und wo sind die Punkte A,B,C,D,E,F,G und H?
Vermutlich ist ABCD die Grundfläche, EFGH die Deckfläche. Üblicherweise zeigt Z bei Schulaufgaben nach oben. Ohne Skizze kann man nur vermuten:
A=(-4,-4,0) B=(4,-4,0) C=(4,4,0) D=(-4,4,0)
E=(-2,-2,8) F=(2,-2,8) G=(2,2,8) H=(-2,2,8)
Möglicherweise muss man aber um 90° drehen
Der Laserstrahl hat die Gleichung rL=P+(P-Q)*q
Die Gleichung der Ebene BCGF ist r1=B+s*(C-B)+t*(G-B)
Der Eintrittspunkt ist durch rL(q1)=r1(s1,t1) definiert. Man hat drei Gleichungen für x,y,z. Daher kann man die drei Parameter q1,s,t bestimmen und wieder in rL einsetzen: rE=rL(q1)
Das gleiche für die Ebene ADHE r2=A+s*(D-A)+t*(H-A) und liefert rA=rL(q2)
Die Länge des Bohrkanals ist der Abstand der Eintrittspunktes vom Austrittspunkt: L=rL(q2)-rL(q1)