Könnt ihr mir bei Stochastik helfen?

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2 Antworten

Hallo,

Stichworte: pascalsches Dreieck, Binomialkoeffizienten, Galton-Brett, Normalverteilung.

All dies hängt mit der Aufgabe zusammen.

Das Labyrinth besitzt sechs Ebenen mit Hindernissen, in der siebten Ebene warten die Leckerchen. Sie wird aber als sechste gezählt, weil das eine Hindernis ganz oben die nullte Ebene ist.

Um zu verstehen, was da passiert, fang bei zwei Ebenen an, also mit einem Brett, in das drei Nägel in Form eines gleichseitigen Dreiecks eingeschlagen sind.

Läßt Du eine Kugel auf den obersten Nagel fallen, läuft sie entweder links oder rechts daran vorbei. Zu jedem der beiden Nägel darunter führt also genau je ein Weg.

Schlägst Du darunter drei Nägel ein, so daß diese sechs Nägel nun ein gleichseitiges Dreieck bilden, erreichst Du die beiden äußeren Nägel nur jeweils auf eine Art, den mittleren dagegen auf zwei Arten, denn schräg über ihm befinden sich zwei Nägel, von denen der Ball zum mittleren abtropfen kann. Die Möglichkeiten sind 1 2 1.

Eine Reihe darunter kann - von links nach rechts - auf 1 3 3 1 Art erreicht werden - probiere es aus.

So geht es gemäß dem Pascalschen Dreieck weiter.

1 4 6 4 1 ist die nächste Ebene usw.

Die Nägel eine Ebene tiefer werden immer auf Lücke gesetzt, die Wege, sie zu erreichen, ist die Summe der Wege, auf die die beiden Nägel schräg darüber erreicht werden können.

5. Ebene: 1 5 10 10 5 1

6. Ebene (Leckerchen): 1 6 15 20 15 6 1

Das sind die Binomialkoeffizienten (6 über 0), (6 über 1) usw. bis (6 über 6)

Die Walnuß ist also auf einem Weg zu erreichen, die Karotte auf 15, die Erdbeere auf 6, denn sie liegen an 0., 2. und 5. Position, also gibt es (6 über 0); (6 über 2) und (6 über 5) Wege.

Da es insgesamt 2^6=64 Wege gibt, wären die Wahrscheinlichkeiten normalerweise 1/64, 15/64 und 6/64

Nun hat die Maus aber diesen Rechtsdrall, was bedeutet, daß die Walnuß, die nur zu erreichen ist, wenn sich die Maus jedesmal für rechts entscheidet, mit einer Wahrscheinlichkeit von (2/3)^6 zu erreichen ist, was 64/729 ergibt.

Bei der Karotte kann die Maus zwar 15 unterschiedliche Wege gehen, aber bei jedem muß sie sich viermal für rechts und zweimal für links entscheiden. Die Wahrscheinlichkeit ist also 15*(2/3)^4*(1/3)^2.

Um zur Erdbeere zu gelangen, kann sie 6 Wege gehen, wobei sie fünfmal nach links und einmal nach rechts abbiegen muß:

Wahrscheinlichkeit: 6*(2/3)*(1/3)^5

Herzliche Grüße,

Willy

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Kommentar von Traumbewahrer
30.06.2016, 20:32

Ich bin dir unendlich dankbar! Kannst du mir noch einen Ansatz für den zweiten Teil geben?

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Kommentar von Traumbewahrer
30.06.2016, 21:20

Vielen Dank. Alles perfekt verständlich erklärt!

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Kommentar von Traumbewahrer
30.06.2016, 21:23

Noch eine letzte Frage: bei Teil 1, c): die Wahrscheinlichkeit wäre, wenn alle Wege gleich wahrscheinlich wären, 34,38%. Nun gibt es aber diesen Rechtsdrall... Wie würdest du die Aufgabe lösen?
Lg

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Kommentar von Traumbewahrer
30.06.2016, 21:28

Ich meine aber die Frage: Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet die Maus überhaupt Futter... :)

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Es geht hier um einen "Mehrstufigen Zufallsversuch" mit n=5 ( 5 Stufen die Maus entscheidet 5 mal rechts oder links)

Diese Versuche kann man mit einen Baumdiagramm darstellen ,wobei sich je nach Aufgabe verschiedene Wege (Pfade) ergeben.Es können sich auch mehrere Pfade mit der selben "Pfadwahrscheinlichkeit" ergeben.

Die "Pfadwahrscheinlichkeit" ergibt sich aus den Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten,die auf diesen Pfad liegen.

a. Wahrscheinlichkeit für die Nuss. Die Maus passiert 5 Kreuzungen und die Wahrscheinlichkeit,dass die Maus rechts bleibt liegt bei P(r)=2/3

Der Pfad ist somit P(Nuss) = 2/3 *2/3*2/3 *2/3 *2/3*2/3=(2/3)^5=0,131=13,1 %

b. Pfadwahrscheinlichkeit für die Möhre (Pfad ist vorgegeben)

P(Möhre) = 1/3 *2/3 *1/3 *1/3 *2/3= (1/3)^3 * (2/3)^2=0,0164=1,16%

Bei mehreren Pfade mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gilt

P(gesamt)= Anzahl der Pfade * Pfadwahrscheinlichkeit

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Kommentar von Traumbewahrer
30.06.2016, 19:21

Vielen Dank für die Antwort! Also existieren nicht 2^6 mögliche Wege, sondern 2^5?

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Kommentar von Traumbewahrer
30.06.2016, 19:36

Ja, aber sind es nicht sechs Abzweigungen, die die Maus nehmen kann?

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