Kann mir jemand diese Algebra Aufgabe zum Thema lineare Gleichungssysteme erklären?
3 Antworten
Die Determinante der Koeffizientenmatrix des erweiterten LGS ist
det((1,2,-1),(5,11,-7),(p,q,r)) = -3 p + 2 q + r
Wenn diese ungleich Null ist, dann hat das LGS nur die triviale (und eindeutige) Lösung x1 = x2 = x3 = 0.
Nehme etwa p=q=1 und r=2.
Ich habe x1...x3 durch a,b,c ersetzt, weil mir das übersichtlicher erscheint.
Wenn man die dritte Gleichung so wie sie dasteht dazu nimmt und das Gleichungssystem nach einer der gängigen Methode auflöst, kommt man zum Ergebnis:
(2q - 3p + r)*c = 0
Nach dem Satz von Nullprodukt könnte die Klammer oder c = 0 sein. Daraus würde folgen, dass auch a und b = 0 sein müssen. Alles zu 0 setzen ist aber keine Lösung.
Es kann auch die Klammer = 0 sein und daraus ergibt sich:
r = 3p - 2q
p und q können frei gewählt werdenund daraus ergibt sich r. Im eifachsten Fall setzt man p und q = 0 und erhält daraus: r = 1
Die gefundene Gleichung lautet also:
a + b + c = 1
Nun können wir das Gleichungssystem lösen:
Wir erhalten keine eindeutige Lösung, weil die Verrechnung von Zeile 1 und 2 sowie von 3 und 2 jeweils so, dass a rausfällt, zu einer linear abhängigen Zwischengleichung führt. Das ist bei jedem anderen frei gewählten p und q ebenso der Fall. Daher gibt es keine eindeutige Lösung.
also... mal sehn... da würde ich ganz stumpf das Lösungsverfahren anwenden... mit a,b,c statt x1,x2,x3:
a+2b-c=0 --> c=a+2b
5a+11b-7c=0 --> 5a+11b-7a-14b=0 --> a=-3b/2
p*a+q*b+r*c=0 --> -3bp/2+qb+r(-3b/2+2b)=0
--> rb/2=(3p/2-q)b --> r=2(3p/2-q)=3p-2q
dann wollen wir mal ganz genau hinsehn: Beispiel: p=1,q=1,r=3-2=1, b=2,a=-3,c=1
oh... eindeutig ist was anderes... heul
oh... jetzt weiß ich... dadurch, dass durch ersetzen von a und c in der dritten Gleichung das b und das a und das c wegfällt, hast du also nur noch eine Gleichung mit 2 Unbekannten... das wird nich eindeutig...