Kann mir jemand bitte bei dieser Physikaufgabe helfen?

Question

Ich finde leider überhaupt nichts brauchbares in meinen Aufzeichnungen…
weder für a) noch für b)

SlowPhil · Answer

Hallo xxluzww,
die "relativistische Masse" oder auch eines mit der Geschwindigkeit v› = (v₁; v₂; v₃) ¹) bewegten Körpers der sog. Ruhemasse m₀,
(1) mᵥ = m₀∙γ := m₀/√{1 − (‹v∙v›⁄c)²}
mit ‹v∙v› = v₁² + v₂² + v₃² ¹) heißt deshalb so, weil der Impuls des Teilchens eben
(2) p› = mᵥ∙v› = m₀∙γ∙v›
ist. Im Beispiel von a) ist ⎜v›⎟ = 1⁄20∙c, und damit ist γ = √{400⁄399} ≈ 1 + 1,25×10⁻³. Das muss man dann nur noch mit den 2×10⁶ kg multiplizieren und erhält ca. 2,0025×10⁶ kg.
Allerdings gehören diese zusätzlichen 2,5×10³ kg eigentlich nicht zum Körper selbst, sondern zu seiner "mitgeschleppten" kinetischen Energie Eₖ; jede Energie "wiegt was", nämlich etwas über 11 Femtogramm pro Joule. 
Zu b): Wenn Du Dir (1) anguckst, siehst Du sofort, dass für ⎜v›⎟ → c γ und damit auch kinetische Energie und Impuls ins Unendliche wachsen, oder umgekehrt, Du bräuchtest unendlich viel Energie, um c zu erreichen.
Um noch einmal auf den vorletzten Absatz zu sprechen zu kommen: Die Ausdrucksweise mit "Ruhemasse" und "relativistische Masse" ist schon seit vielen Jahrzehnten veraltet. Wenn Physiker von der Masse eines Körpers oder Teilchens reden, meinen sie die m₀ bzw. die Ruheenergie E₀ (was physikalisch dasselbe ist; der Unterschied, der konstante Faktor c², ist ein Artefakt unseres Einheitensystems).
Koordinatenzeit vs. Eigenzeit
Man liest daher (2) nicht mehr als
(3.1) p› = (m₀∙γ)∙v› = mᵥ∙dx›⁄dt,
wobei dt eine von einer "ruhenden" ²) Bezugsuhr U aus ermittelte kurze Zeitspanne (U-Koordinatenzeit) und dx› die (kleine) Positionsänderung des Raumfahrzeugs relativ zu U ist, sondern als
(3.2) p› = m₀∙(γ∙v›) = m₀∙dx›⁄dτ,
wobei dτ die dt entsprechende Zeitspanne auf der Borduhr des Raumfahrzeugs ist, die Eigenzeit. Es ist übrigens dt⁄dτ = γ.
Energie und Impuls
Zwischen Gesamtenergie E = E₀ + Eₖ und Impuls besteht die Beziehung
(4.1) E² = E₀² + c²‹p∙p› = (m₀c²)² + c‹p∙p›,
die man auch anders schreiben kann:
(4.2) (E₀⁄c)² = (m₀∙c)² = (E⁄c)² − ‹p∙p›
Eine entsprechende Beziehung gilt zwischen γ = dt⁄dτ und γ∙v› = dx›⁄dt:
(5) γ²c² − γ²‹v∙v› = c²
Vierergeschwindigkeit und Viererimpuls
Die Beziehungen (4.2) und (5) sind PYTHAGORAS- ähnlich, was Physiker auf den Gedanken gebracht hat, E⁄c als zeitliche Komponente des sog. Viererimpulses
(6.1) p» = (E⁄c; p›) = (E⁄c; p₁; p₂; p₃)
und E₀⁄c als eine Art "Betrag" von p» aufzufassen, und γ∙c als erste Komponente der Vierergeschwindigkeit
(6.2) v» = (γc; γv›) = (γc; γv₁; γv₂; γv₃)
mit dem "Betrag" c. Mit v» bewegt sich ein Körper oder besser gesagt dessen Jetzt durch die Raumzeit, und es gilt
(7) p» = m₀∙v».
Die "Jetzte" relativ zueinander räumlich bewegter Körper bewegen sich quasi gleich schnell in unterschiedliche Richtungen.

Abb. 1: Der Viererimpuls (natürlich wurde nur eine räumliche Dimension dargestellt).
_________¹) Geschwindigkeit ist eine Vektorgröße, eine Größe mit Richtung, und v₁, v₂ und v₃ sind deren Komponenten. Den Vektorcharakter stelle ich durch '›' dar. ‹v∙v› ist das Skalarprodukt dieses Vektors mit sich selbst, was nichts anderes ist als das Quadrat ihres Betrages, des Tempos.
²) Fortbewegung ist relativ. Wenn U ruht und eine zweite Uhr U' sich mit konstanter 1D-Geschwindigkeit v› relativ zu U bewegt, kann man das Szenario ebensogut so beschreiben, dass U' ruht und sich U mit −v› (gleiches Tempo, entgegengesetzte Richtung; die Komponenten sind allerdings nicht unbedingt einfach nur mit einem Minuszeichen zu versehen).

Prometheus166 · Answer

a)﻿﻿ ɣ ist der Lorentz-Faktor﻿﻿m die Masse des Körpersb)Wenn sich die Geschwindigkeit v der Lichtgeschwindigkeit c annähert dann geht der Lorentz-Faktor ɣ gegen Unendlich und damit auch die Impulsmasse. Deswegen bräuchte es auch Unendlich viel Energie einen Körper auf diese Geschwindigkeit zu bringen.

Kann mir jemand bitte bei dieser Physikaufgabe helfen?

2 Antworten